La distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es la separación más corta, medida perpendicularmente a la recta¹. Se puede unir el punto con cualquier punto de la recta, pero el segmento perpendicular es el más corto: cualquier segmento oblicuo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene a la perpendicular por cateto, y la hipotenusa es más larga que cualquiera de los catetos. Aquí hallamos la distancia del origen $O(0, 0)$ a la recta $3x + 4y - 25 = 0$ .

La fórmula

La distancia de un punto $(x_0, y_0)$ a una recta $ax + by + c = 0$ es la siguiente.

d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Parte	Valor aquí
Numerador $\|3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 25\|$	$25$
Denominador $\sqrt{3^2 + 4^2}$	$5$
Distancia $d$	$5$

Cómo leer la fórmula

El numerador es el valor absoluto de lo que resulta al meter las coordenadas del punto en el primer miembro de la ecuación de la recta; si el punto está sobre la recta, ese valor es $0$ , y la distancia también. El denominador $\sqrt{a^2 + b^2}$ es la longitud del vector $(a, b)$ , que apunta perpendicularmente a la recta, y dividir por él convierte el valor de la expresión en una longitud de verdad.

El pie de la perpendicular

La perpendicular trazada desde $O$ a la recta es $y = \dfrac{4}{3}x$ . Al sustituir en $3x + 4y - 25 = 0$ se obtiene $\dfrac{25}{3}x = 25$ , de modo que el pie es $(3, 4)$ . La longitud del origen a $(3, 4)$ es $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ , que coincide con la distancia dada por la fórmula.

Circunferencias y tangencia

Esta fórmula es justamente lo que hay detrás de comparar con el radio la distancia del centro a una recta.

Distancia frente al radio	La recta y la circunferencia
$d < r$	se cortan en dos puntos
$d = r$	son tangentes
$d > r$	no se cortan

La circunferencia $x^2 + y^2 = 25$ tiene centro $(0, 0)$ y radio $5$ , y la distancia vale $5$ , así que esta recta es tangente a ella.

El signo indica el lado

Sin el valor absoluto, el signo de $a x_0 + b y_0 + c$ indica en qué lado de la recta está el punto. Separar dos lados mediante ese signo es la idea que sostiene los métodos de aprendizaje automático que dividen los datos con una recta, o con un hiperplano².

Los puntos grandes de la gráfica son el punto $O$ y el pie de la perpendicular; la longitud del segmento que los une es la distancia buscada.

Distance from a point to a line, Wikipedia
Support vector machine, Wikipedia