Intersección de una función exponencial y una recta

Una intersección de una función exponencial con una recta horizontal equivale a resolver una ecuación exponencial. Hallamos dónde $y = 2^x$ se encuentra con la recta $y = 4$.

Igualar las bases

En una intersección, $2^x = 4$. Escribir el segundo miembro como potencia de la misma base, $4 = 2^2$, da lo siguiente.

Una vez que las bases coinciden, los exponentes han de ser iguales, así que $x = 2$ y la intersección es el único punto $(2, 4)$.

Resolver con logaritmos

Cuando el segundo miembro no es una potencia limpia, se usan logaritmos. Tomar $\log_2$ en ambos miembros de $2^x = k$ da $x = \log_2 k$. Como un logaritmo responde a la pregunta de qué potencia de $2$ produce $k$, esto no es más que la solución de la ecuación exponencial reescrita. Aquí, $x = \log_2 4 = 2$.

A lo sumo un punto con una recta horizontal

La exponencial $y = 2^x$ tiene base mayor que $1$, así que es siempre estrictamente creciente. Sus intersecciones con una recta horizontal $y = k$ son, por tanto, las siguientes.

Con una base menor que $1$ la gráfica es, en cambio, estrictamente decreciente. La curva $y = \left( \dfrac{1}{2} \right)^x = 2^{-x}$ cae hacia la derecha pero tampoco repite altura, así que también corta una recta horizontal con $k > 0$ en exactamente un punto. La monotonía, creciente o decreciente, es lo que fija la intersección en un solo punto.

Cuando la recta está inclinada

Para $2^x = x + 1$, el valor $x = 0$ da $1 = 1$ y $x = 1$ da $2 = 2$, así que hay dos intersecciones. La curva exponencial es convexa, de modo que una recta puede cortarla hasta en dos puntos. Ecuaciones así no suelen poder resolverse en absoluto reordenando algebraicamente, y sus raíces han de hallarse numéricamente; un caso con respuestas tan limpias es un golpe de suerte.

Aplicaciones

Las ecuaciones exponenciales aparecen siempre que se pregunta cuándo alcanza una magnitud creciente un nivel dado. El número de años que tarda un capital en duplicarse a un interés compuesto del $3$ por ciento resuelve $1.03^t = 2$.

El tiempo que tarda una población de bacterias que se duplica en llegar a un recuento dado, y el que tarda una sustancia radiactiva en reducirse a la mitad de su masa, son ecuaciones de la misma forma. El punto grande de la gráfica es la intersección $(2, 4)$.