Parábola que pasa por tres puntos

Hallemos la parábola que pasa por los tres puntos $(0, 1)$ , $(1, 0)$ y $(2, 3)$ . Por tres puntos con coordenadas $x$ distintas pasa exactamente una función cuadrática¹.

Plantear las ecuaciones

Escribámosla como $y = ax^2 + bx + c$ y sustituyamos cada punto.

Punto	Ecuación
$(0, 1)$	$c = 1$
$(1, 0)$	$a + b + c = 0$
$(2, 3)$	$4a + 2b + c = 3$

Tres incógnitas y tres condiciones: justo lo necesario.

Resolución

Con $c = 1$ quedan dos ecuaciones.

\begin{align*} a + b &= -1 \\ 2a + b &= 1 \end{align*}

Al restarlas resulta $a = 2$ y después $b = -3$ . Por tanto, $y = 2x^2 - 3x + 1$ .

Comprobación

$x$	$2x^2 - 3x + 1$	Valor exigido
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$0$
$2$	$3$	$3$

Por qué bastan tres puntos

Una cuadrática lleva tres grados de libertad: $a$ , $b$ y $c$ . Pasar por un punto es una ecuación, así que tres puntos aportan tres ecuaciones y fijan la curva sin nada de sobra. Con solo dos puntos, pasan por ellos infinitas parábolas.

Curva	Grados de libertad	Puntos necesarios
Recta	$2$	$2$
Parábola	$3$	$3$
Polinomio de grado $n$	$n + 1$	$n + 1$

La estructura es idéntica a la de hallar la circunferencia que pasa por tres puntos.

Qué más nos dice la respuesta

$y = 2x^2 - 3x + 1$ se factoriza como $(2x - 1)(x - 1)$ , así que corta al eje $x$ en $\left(\dfrac{1}{2}, 0\right)$ y en $(1, 0)$ . Uno de los tres puntos dados ya estaba sobre el eje $x$ .

Al completar el cuadrado se convierte en $2\left(x - \dfrac{3}{4}\right)^2 - \dfrac{1}{8}$ , de modo que el vértice es $\left(\dfrac{3}{4}, -\dfrac{1}{8}\right)$ . De la mera exigencia de pasar por tres puntos han quedado fijadas tanto la posición como la anchura.

Interpolación

Hallar un polinomio que pase por un conjunto dado de puntos se llama interpolación, y es la herramienta básica para trazar una curva suave a través de medidas dispersas. Los puntos grandes señalan los tres puntos.

Polynomial interpolation, Wikipedia