Intersección del seno y el coseno

Hallamos dónde se cruzan las gráficas de $y = \sin x$ e $y = \cos x$.

Resolver la ecuación

Dividir ambos miembros de $\sin x = \cos x$ entre $\cos x$ da $\tan x = 1$, que se cumple exactamente en los valores siguientes.

Una advertencia sobre la división

Siempre que se divide hay que comprobar que el divisor no sea $0$. Si $\cos x = 0$ entonces $\sin x = \pm 1$, que no es $0$, así que $\sin x = \cos x$ no puede cumplirse allí. Los valores con $\cos x = 0$ nunca fueron soluciones, de modo que dividir no pierde nada.

Verlo en la circunferencia unidad

El coseno es la coordenada horizontal de un punto y el seno, la vertical. Así que $\sin x = \cos x$ dice que las dos coordenadas coinciden, cosa que ocurre exactamente donde la circunferencia unidad se encuentra con la recta $y = x$.

La circunferencia corta esa recta en dos puntos diametralmente opuestos, en los ángulos $\dfrac{\pi}{4}$ y $\dfrac{5\pi}{4}$. Las soluciones se repiten cada $\pi$ y no cada $2\pi$ porque esos dos puntos están a lados opuestos del origen, que es la misma razón por la que el período de $\tan$ es $\pi$.

Comprobar los valores

Las magnitudes son las mismas y solo cambia el signo.

Resolver componiendo las ondas

Hay otro camino, el de la composición de funciones trigonométricas. La diferencia se reduce a un único seno.

Esto se anula cuando $x - \dfrac{\pi}{4} = n\pi$, es decir, $x = \dfrac{\pi}{4} + n\pi$, en acuerdo con la respuesta obtenida por la tangente. La lectura aquí es que la diferencia de dos ondas es a su vez una onda, y sus ceros son las intersecciones.

Los puntos grandes de la gráfica son esas dos intersecciones, y los cruces se repiten cada $\pi$ a partir de ahí.