El área de un triángulo en el plano coordenado

El área de un triángulo cuyas coordenadas se conocen puede hallarse con una fórmula. Tomemos el triángulo de vértices $A(1, 1)$, $B(5, 1)$ y $C(2, 4)$.

Con una base y una altura

Cuando pueden leerse directamente una base y una altura, con eso basta. El lado $AB$ está sobre $y = 1$ y mide $5 - 1 = 4$. La altura del vértice $C$ es su distancia a esa base, la diferencia entre la coordenada $y$ de $C$, que vale $4$, y la recta $y = 1$, es decir, $3$. El área es, por tanto, $\dfrac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$.

La fórmula a partir de las coordenadas

Cuando la base no es paralela a un eje, se aplica la fórmula siguiente. Para $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ y $C(x_3, y_3)$ el área es la siguiente.

Sustituyendo resulta $\dfrac{1}{2}|1(1 - 4) + 5(4 - 1) + 2(1 - 1)| = \dfrac{1}{2}|{-3} + 15 + 0| = 6$, en acuerdo con la respuesta anterior.

Llevar un vértice al origen

La fórmula se aclara en cuanto se lleva el vértice $A$ al origen. Trasladar $A$ allí lleva $B$ a $(4, 0)$ y $C$ a $(1, 3)$. El área del triángulo que forman el origen y dos puntos $(p, q)$ y $(r, s)$ toma la forma siguiente.

Sustituyendo resulta $\dfrac{1}{2}|4 \cdot 3 - 0 \cdot 1| = 6$. Una traslación no cambia un área, así que con esto basta. La cantidad $|ps - qr|$ es el área del paralelogramo que generan los dos vectores, y el triángulo es exactamente su mitad.

Para qué está el valor absoluto

El valor absoluto está para que el área sea positiva, de modo que la respuesta no dependa del orden de los vértices. El signo del valor sin él registra el sentido en el que se recorre $A \to B \to C$.

• En sentido antihorario da un valor positivo
• En sentido horario da un valor negativo
• Tres puntos sobre una misma recta dan $0$

El área es $0$ exactamente cuando el triángulo se desploma, así que la fórmula sirve también para comprobar si tres puntos están alineados.

Extensión a un polígono

La misma idea se extiende a un polígono, recorriendo los vértices en orden, y se convierte en la fórmula del área de Gauss¹. Un triángulo es su caso más simple.

Las tres rectas de la gráfica son los tres lados, y los puntos grandes son los vértices $A$, $B$ y $C$.

1. Shoelace formula, Wikipedia