La regla del cociente

Una función en forma de fracción se deriva con la regla del cociente¹. Lo comprobamos con $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ .

La fórmula

\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Tomar $u = x^2 - 1$ y $v = x^2 + 1$ da $u' = v' = 2x$ , así que la derivada es la siguiente.

f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) - (x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}

El numerador es $u'v - uv'$ , y invertir el orden de la resta invierte el signo. A diferencia de la regla del producto, aquí el orden importa.

Monotonía

El denominador es un cuadrado y por tanto siempre positivo; el signo lo da únicamente el numerador $4x$ .

Intervalo	$f'$	Comportamiento
$x < 0$	negativa	decreciente
$x > 0$	positiva	creciente

En $x = 0$ la función alcanza su mínimo $f(0) = -1$ .

Asíntota

Cuando $x \to \pm\infty$ el numerador y el denominador tienen el mismo grado, así que $f \to 1$ . La recta $y = 1$ es una asíntota. En efecto, la función puede reescribirse así.

f(x) = 1 - \frac{2}{x^2 + 1}

Es $1$ menos una cantidad positiva. En esta forma, la misma respuesta se obtiene derivando $-2(x^2+1)^{-1}$ , sin usar en absoluto la regla del cociente.

Los valores principales

$x$	$f(x)$	$f'(x)$
$-1$	$0$	$-1$
$0$	$-1$	$0$
$1$	$0$	$1$

Al ser par, la gráfica es simétrica respecto del eje $y$ . El rango es $-1 \leq f < 1$ , y la curva se encuentra con el eje $x$ en los dos puntos $x = \pm 1$ .

Se sigue de la regla del producto

Leer $\dfrac{u}{v}$ como $uv^{-1}$ y usar la regla del producto con $\left( v^{-1} \right)' = -\dfrac{v'}{v^2}$ da lo siguiente.

u'v^{-1} + u\left( -\frac{v'}{v^2} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Quien prefiera no memorizar otra fórmula puede detenerse aquí.

Allí donde el denominador se anula, la función no está definida de entrada, así que tampoco puede derivarse. Para esta función $x^2 + 1 > 0$ , de modo que es derivable en todo $x$ .

La gráfica que se curva hacia arriba es $y = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ , la curva que pasa por el origen es la derivada, y los puntos grandes son el mínimo y los cortes con el eje $x$ .

Quotient rule, Wikipedia