Derivación implícita

Se puede derivar sin despejar antes $y$ ¹. Hallamos la tangente a la circunferencia $x^2 + y^2 = 25$ en el punto $(3, 4)$ .

Derivar ambos miembros

Como $y$ es función de $x$ , la regla de la cadena hace que la derivada de $y^2$ sea $2y \dfrac{dy}{dx}$ .

\begin{align*} 2x + 2y \frac{dy}{dx} &= 0 \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{x}{y} \end{align*}

Poner $(3, 4)$ da la pendiente $-\dfrac{3}{4}$ . La tangente es, por tanto, la siguiente.

y = -\frac{3}{4}(x - 3) + 4 = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}

Comparada con despejar primero

Método	Expresión	Qué abarca
Despejar $y$	$y = \pm\sqrt{25 - x^2}$	las semicircunferencias superior e inferior por separado
Dejarlo implícito	$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$	las dos a la vez, en una sola fórmula

Derivar implícitamente trata las dos mitades juntas.

El significado geométrico

El radio trazado desde el centro $(0, 0)$ hasta $(3, 4)$ tiene pendiente $\dfrac{4}{3}$ , y la tangente tiene pendiente $-\dfrac{3}{4}$ ; el producto es $-1$ . El hecho de que una tangente sea perpendicular al radio cae por su propio peso de la fórmula.

Dónde no puede usarse

Falla donde $y = 0$ . En $(5, 0)$ y $(-5, 0)$ el denominador se anula, pero eso es porque la tangente allí es la recta vertical $x = 5$ o $x = -5$ , que no tiene pendiente. El modo en que se rompe la fórmula concuerda con la geometría.

Lo mismo para curvas que no son circunferencias

Curva	Forma derivada	Pendiente de ejemplo
$x^2 + y^2 = 25$	$-\dfrac{x}{y}$	$-\dfrac{3}{4}$ en $(3, 4)$
$x^3 + y^3 = 9$	$-\dfrac{x^2}{y^2}$	$-\dfrac{1}{4}$ en $(1, 2)$
$xy = 6$	$-\dfrac{y}{x}$	$-\dfrac{3}{2}$ en $(2, 3)$

Incluso en una curva en la que no puede despejarse $y$ , la tangente puede hallarse igual. Que se mezcle un producto no cambia nada: para $xy = 6$ la regla del producto da $y + x\dfrac{dy}{dx} = 0$ , en acuerdo con el $-\dfrac{6}{x^2}$ que se obtiene derivando $y = \dfrac{6}{x}$ .

Los dos arcos de la gráfica son la circunferencia $x^2 + y^2 = 25$ , la recta es la tangente, y los puntos grandes son el punto de tangencia $(3, 4)$ y el centro $(0, 0)$ .

Implicit function, Wikipedia