y=cot⁡xy = \cot x

Gráfica de la función cotangente y=cot⁡xy = \cot x

La función cotangente y=cot⁡xy = \cot x es la función trigonométrica definida como el coseno dividido por el seno1. Es además la inversa multiplicativa de la tangente.

Definición

cot⁡x=cos⁡xsin⁡x=1tan⁡x\cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}

Dominio y rango

  • El dominio es todo número real con x≠nπx \neq n\pi
  • El rango es el conjunto de todos los números reales
  • El período es π\pi
  • Es una función impar

Como con la tangente, los valores no tienen cota superior ni inferior.

Simetría y período

Como cot⁡(−x)=−cot⁡x\cot(-x) = -\cot x, es una función impar con simetría central respecto del origen. El período es π\pi, igual que el de la tangente y más corto que el 2π2\pi del seno y del coseno.

Asíntotas y límites

Hay una asíntota vertical en cada x=nπx = n\pi.

Aproximacióncot⁡x\cot x
x→0+x \to 0^{+}+∞+\infty
x→π−x \to \pi^{-}−∞-\infty

Monotonía y ceros

La derivada es la siguiente.

ddxcot⁡x=−1sin⁡2x=−csc⁡2x\frac{d}{dx}\cot x = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x

Es siempre negativa, así que la función decrece de forma monótona en cada intervalo nπ<x<(n+1)πn\pi < x < (n+1)\pi. Los ceros son las soluciones de cos⁡x=0\cos x = 0, a saber, x=π2+nπx = \dfrac{\pi}{2} + n\pi.

Valores destacados

xxcot⁡x\cot x
π6\dfrac{\pi}{6}3\sqrt{3}
π4\dfrac{\pi}{4}11
π3\dfrac{\pi}{3}13\dfrac{1}{\sqrt{3}}
π2\dfrac{\pi}{2}00

Forma de la gráfica

Tomemos un solo intervalo, por ejemplo 0<x<π0 < x < \pi. La curva arranca cerca de +∞+\infty en la asíntota izquierda, cruza el 00 en x=π2x = \dfrac{\pi}{2} y desciende hacia −∞-\infty en la asíntota derecha. Esa forma se repite con un desplazamiento de π\pi, y cada cero queda exactamente en el centro de su intervalo.

Comparación con la tangente

Aspectotan⁡x\tan xcot⁡x\cot x
Asíntotasπ2+nπ\dfrac{\pi}{2} + n\pinπn\pi
Cerosnπn\piπ2+nπ\dfrac{\pi}{2} + n\pi
Comportamiento en una ramacrecientedecreciente
Derivadasec⁡2x\sec^2 x−csc⁡2x-\csc^2 x

Las dos están ligadas por cot⁡x=tan⁡(π2−x)\cot x = \tan\left( \dfrac{\pi}{2} - x \right), así que la cotangente también puede leerse como la tangente reflejada de izquierda a derecha y desplazada en π2\dfrac{\pi}{2}.

Aplicaciones

  • La relación entre ángulos y longitudes en topografía y triangulación
  • El desarrollo en fracciones simples πcot⁡πx\pi\cot\pi x en análisis complejo
  • La primitiva de csc⁡2x\csc^2 x en cálculo integral
  1. Trigonometric functions, Wikipedia