Gráfica de la función cuártica $y = x^4$

$y = x^4$ es el monomio de cuarto grado que se obtiene al multiplicar $x$ por sí mismo cuatro veces¹. Se parece a la parábola $y = x^2$, pero es más plana cerca del origen y sube mucho más bruscamente lejos de él.

Dominio y rango

• El dominio es el conjunto de todos los números reales
• El rango es $y \geq 0$
• El valor mínimo $0$ se alcanza en $x = 0$
• Es una función par

El exponente es par, así que los valores nunca son negativos.

Simetría

Como $(-x)^4 = x^4$, la función es par: $x$ y $-x$ dan el mismo valor, y la gráfica es simétrica respecto del eje $y$.

Monotonía y mínimo

La derivada es $y' = 4x^3$, negativa para $x < 0$ y positiva para $x > 0$. Por tanto, la función decrece, cambia de sentido en $x = 0$, donde alcanza su mínimo, y crece a partir de ahí.

La segunda derivada $y'' = 12x^2$ nunca es negativa, así que la curva es convexa en todas partes. En $x = 0$ se tiene $y'' = 0$, pero el signo no cambia ahí, de modo que el origen no es un punto de inflexión.

Comparación con la parábola

Para $|x| < 1$ la cuártica es menor, así que la curva es más plana cerca del origen; para $|x| > 1$ es mayor y crece mucho más deprisa. Las dos gráficas se cortan en $x = 0$ y en $x = \pm 1$.

Relación con otras funciones

Pertenece a la familia de las funciones potencia de exponente par $x^n$: cuanto mayor es el exponente par, más plana es la curva dentro de $|x| < 1$ y más vertical su subida fuera. Restringida a $x \geq 0$ la función es inyectiva, y su inversa es la raíz cuarta $y = \sqrt[4]{x}$.

Aplicaciones

• La flecha de una viga con carga uniforme es un polinomio de cuarto grado en la posición
• Un potencial de doble pozo como $x^4 - x^2$ se apoya en el término cuártico para crear dos mínimos estables
• La curtosis, que mide lo pesadas que son las colas de una distribución, se define a partir del cuarto momento²

1. Quartic function, Wikipedia
2. Kurtosis, Wikipedia