y = \sin\dfrac{1}{x}

Gráfica de la función $y = \sin\dfrac{1}{x}$

$y = \sin\dfrac{1}{x}$ es el seno de una función recíproca. Conforme $x$ se acerca a $0$ , la cantidad $\dfrac{1}{x}$ crece sin límite, así que infinitas oscilaciones se apiñan en cualquier entorno del origen, por pequeño que sea. Es el ejemplo de manual de límite que no existe.

Dominio y rango

El dominio es $x \neq 0$ y el rango es el intervalo $[-1, 1]$ . Como $\dfrac{1}{x}$ toma todos los valores reales salvo $0$ , el seno alcanza todos los suyos.

Simetría

De $f(-x) = \sin\left( -\dfrac{1}{x} \right) = -f(x)$ se sigue que la función es impar, con simetría de rotación respecto del origen.

Ceros, crestas y valles

Se tiene $\sin\dfrac{1}{x} = 0$ cuando $\dfrac{1}{x} = n\pi$ , es decir, en $x = \dfrac{1}{n\pi}$ .

$n$	Cero en $x = \dfrac{1}{n\pi}$
$1$	$\approx 0.3183$
$2$	$\approx 0.1592$
$3$	$\approx 0.1061$
$4$	$\approx 0.0796$

Los ceros se agolpan sin fin hacia el origen. El valor $\pm 1$ se alcanza en $x = \dfrac{2}{(2n+1)\pi}$ , y la cresta más a la derecha es $\left( \dfrac{2}{\pi}, 1 \right) \approx (0.637, 1)$ .

Por qué no existe el límite

Consideremos el límite cuando $x \to 0$ . Dos sucesiones que tienden a $0$ se dirigen a destinos distintos.

\begin{align*} x_n &= \frac{2}{(4n+1)\pi} \to 0, \quad \sin\frac{1}{x_n} = 1 \\ x_n' &= \frac{2}{(4n+3)\pi} \to 0, \quad \sin\frac{1}{x_n'} = -1 \end{align*}

El límite cuando $x \to 0$ no existe, por tanto, y tampoco existe ninguno de los dos límites laterales.

Qué clase de discontinuidad

Los valores se mantienen entre $-1$ y $1$ , así que el eje $y$ no es una asíntota vertical.

Función	Comportamiento cuando $x \to 0$	Clase de discontinuidad
$\dfrac{1}{x}$	diverge	infinita
$\arctan\dfrac{1}{x}$	límites laterales $\pm\dfrac{\pi}{2}$	de salto
$\sin\dfrac{1}{x}$	sin límites laterales	oscilatoria

De la clasificación de las discontinuidades, esta es la más intratable¹.

Comportamiento por la derecha

La derivada es la siguiente.

y' = -\frac{\cos\dfrac{1}{x}}{x^2}

Para $x > \dfrac{2}{\pi}$ se tiene $\dfrac{1}{x} < \dfrac{\pi}{2}$ , así que $\cos\dfrac{1}{x} > 0$ e $y' < 0$ : la función decrece sin pausa. Cuando $x \to \infty$ resulta $\dfrac{1}{x} \to 0$ y por tanto $y \to 0$ , lo que hace del eje $x$ una asíntota horizontal. La función es apacible a lo lejos y más salvaje cuanto más se acerca uno al origen.

Lo que ninguna gráfica puede mostrar

El número de oscilaciones en el intervalo $(0, a]$ es de aproximadamente $\dfrac{1}{2\pi a}$ , que crece sin límite conforme $a$ mengua. Ningún muestreo, por fino que sea, puede por tanto representar correctamente el entorno del origen. Cada vez que se amplía la vista aparecen oscilaciones nuevas, y la escena no se asienta nunca.

Un enlace con la topología

Añadir el segmento $-1 \leq y \leq 1$ del eje $y$ al conjunto siguiente produce la curva seno del topólogo².

\left\{\left(x, \sin\frac{1}{x}\right) : 0 < x \leq 1\right\}

Es el ejemplo clásico de conjunto conexo que no es conexo por caminos. Parece de una pieza y, sin embargo, ningún camino a lo largo de la curva llega jamás al origen.

Classification of discontinuities, Wikipedia
Topologist's sine curve, Wikipedia

Gráfica de la función y=sin⁡1xy = \sin\dfrac{1}{x}y=sinx1​