y = x^{2/3}

Gráfica de la función potencia $y = x^{2/3}$

$y = x^{2/3}$ es una función potencia de exponente fraccionario, y puede escribirse $x^{2/3} = \left(\sqrt[3]{x}\right)^2 = \sqrt[3]{x^2}$ . Combina una raíz cúbica con un cuadrado y, como $x^2$ nunca es negativo, está definida como número real incluso para $x$ negativo.

Dominio y simetría

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango es $y \geq 0$
Es una función par
El mínimo $0$ se alcanza en el origen

Como $(-x)^{2/3} = \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$ , la gráfica es simétrica respecto del eje $y$ .

La cúspide del origen

La derivada es $y' = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ .

Aproximación	$y'$
$x \to 0^{+}$	$\to +\infty$
$x \to 0^{-}$	$\to -\infty$

Las tangentes de ambos lados se vuelven verticales en el origen. Un pico así se llama cúspide¹. A diferencia de la parábola $y = x^2$ , que es suave en el origen, $x^{2/3}$ se hunde en el origen de forma aún más aguda que una V. Como las pendientes laterales son infinitas y no coinciden, la función no es derivable ahí.

Comparación con la raíz cúbica

Función	Paridad	El origen
$\sqrt[3]{x}$	impar	inflexión con tangente vertical
$x^{2/3}$	par	cúspide, y el mínimo

Elevar al cuadrado la raíz cúbica lo pliega todo sobre el lado no negativo, y eso es lo que convierte la inflexión en una cúspide.

Puntos destacados

$x$	$x^{2/3}$
$\pm 1$	$1$
$\pm 8$	$4$
$\pm 27$	$9$

Cuando $x \to \pm\infty$ los valores también crecen sin límite. Como función potencia $x^p$ con $0 < p < 1$ , sube bruscamente cerca del origen y con suavidad a lo lejos.

Dónde aparece esta forma

Esta forma aparece en el célebre astroide.

x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}

Las relaciones con exponente dos tercios también surgen en leyes de escala naturales. La tercera ley de Kepler dice que el cuadrado del período orbital es proporcional al cubo del semieje mayor², así que recuperar el semieje a partir del período es exactamente una potencia $\dfrac{2}{3}$ .

Singular point of a curve, Wikipedia
Kepler's laws of planetary motion, Wikipedia