y = \arccos x

Arcocoseno (coseno inverso) $y = \arccos x$

$\arccos x$ , el coseno inverso o arcocoseno, es la inversa de la función coseno $\cos$ ¹. Como $\cos$ también es periódica, no es inyectiva en todo su dominio, así que se restringe al intervalo $[0, \pi]$ , en el que decrece, y la inversa de esa restricción, el valor principal, es $\arccos$ .

Definición

$y = \arccos x$ es el valor $y$ que cumple a la vez las dos condiciones siguientes.

$\cos y = x$
$0 \leq y \leq \pi$

Dominio y rango

El dominio es el intervalo $[-1, 1]$ y el rango es el intervalo $[0, \pi]$ .

Monotonía

La derivada es la siguiente.

\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (-1 < x < 1)

Es siempre negativa, así que la función decrece de forma monótona en todo su dominio. Se diferencia de la derivada del arcoseno solo en el signo, lo que refleja que $\sin$ y $\cos$ corren en sentidos opuestos sobre los intervalos elegidos.

Simetría

No es ni par ni impar, pero tiene simetría central respecto de $\left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right)$ .

\arccos(-x) = \pi - \arccos x

Valores destacados

$x$	$\arccos x$
$-1$	$\pi$
$0$	$\dfrac{\pi}{2}$
$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\pi}{3}$
$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\pi}{4}$
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\pi}{6}$
$1$	$0$

Tangentes en los extremos

En $x = \pm 1$ el denominador de la derivada tiende a $0$ , así que la tangente se vuelve vertical. La gráfica se descuelga desde $(-1, \pi)$ y viene a posarse en $(1, 0)$ .

Relación con el arcoseno

\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}

Así que $\arccos x = \dfrac{\pi}{2} - \arcsin x$ , y la gráfica de $\arccos$ es la de $\arcsin$ puesta del revés y elevada en $\dfrac{\pi}{2}$ .

Aspecto	$\arcsin x$	$\arccos x$
Dominio	$[-1, 1]$	$[-1, 1]$
Rango	$\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]$	$[0, \pi]$
Comportamiento	creciente	decreciente
Centro de simetría	$(0, 0)$	$\left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right)$

Aplicaciones

Cuando el ángulo entre dos vectores se halla a partir de su producto escalar, $\arccos$ es lo que convierte el valor de $\cos\theta$ de nuevo en el ángulo $\theta$ .

\theta = \arccos\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}

Aparece constantemente en geometría, física e informática gráfica.

Inverse trigonometric functions, Wikipedia

Arcocoseno (coseno inverso) y=arccos⁡xy = \arccos xy=arccosx