y=erf⁡xy = \operatorname{erf} x

La función error y=erf⁡xy = \operatorname{erf} x

La función error erf⁡x\operatorname{erf} x es una función especial que se define integrando la gaussiana1.

erf⁡x=2π∫0xe−t2 dt\operatorname{erf} x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt

El factor 2π\dfrac{2}{\sqrt{\pi}} que va delante es una constante de normalización, elegida para que el valor se acerque exactamente a 11 cuando x→∞x \to \infty. Lo fija la integral gaussiana ∫0∞e−t2 dt=π2\int_0^{\infty} e^{-t^2}\,dt = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}.

Dominio y rango

  • El dominio es el conjunto de todos los números reales
  • El rango es el intervalo abierto (−1,1)(-1, 1)
  • Crece de forma monótona
  • Es una función impar

El integrando e−t2e^{-t^2} es siempre positivo, así que la función crece de forma monótona.

Simetría

El integrando es par, de modo que la integral es impar. Es decir, erf⁡(−x)=−erf⁡(x)\operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x), y la gráfica tiene simetría central respecto del origen.

Monotonía y pendiente

Por el teorema fundamental del cálculo, la derivada es la propia gaussiana.

ddxerf⁡x=2π e−x2\frac{d}{dx}\operatorname{erf} x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-x^2}

Es siempre positiva, así que la función crece en toda la recta. La pendiente es máxima en el origen, donde vale 2π≈1.128\dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \approx 1.128.

Lo deprisa que converge

xxerf⁡x\operatorname{erf} x
0.50.5≈0.5205\approx 0.5205
11≈0.8427\approx 0.8427
22≈0.9953\approx 0.9953
33≈0.99998\approx 0.99998

Tiene dos asíntotas horizontales, y=±1y = \pm 1. Las colas decaen como e−x2e^{-x^2}, así que la convergencia es muy rápida: en x=3x = 3 la separación respecto de 11 está ya por debajo de 10−510^{-5}.

Punto de inflexión

La segunda derivada es −4xπ e−x2-\dfrac{4x}{\sqrt{\pi}}\,e^{-x^2}, cuyo signo cambia en x=0x = 0, así que el origen es el único punto de inflexión. La curva pasa allí de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.

Relación con otras funciones

Está ligada a la función de distribución Φ(x)\Phi(x) de la normal estándar por lo siguiente.

Φ(x)=12(1+erf⁡x2)\Phi(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\frac{x}{\sqrt{2}}\right)

El 2\sqrt{2} aparece por una diferencia entre las definiciones: erf⁡\operatorname{erf} usa e−t2e^{-t^2} mientras que la distribución normal usa e−t2/2e^{-t^2/2}. La cantidad 1−erf⁡x1 - \operatorname{erf} x se llama función error complementaria erfc⁡x\operatorname{erfc} x, y se usa cuando hay que manejar con precisión la probabilidad de una cola.

Desarrollo en serie

erf⁡x=2π(x−x33+x510−⋯ )\operatorname{erf} x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\left(x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \cdots\right)

Converge para todo número real pero, para xx grande, los términos se hinchan mucho por el camino, así que el cálculo práctico usa un desarrollo asintótico o una aproximación racional2.

Aplicaciones e historia

Como sugiere su nombre, nació de la teoría del error de observación. Al no tener expresión con funciones elementales, se trata como función especial por derecho propio.

  • Los cálculos de probabilidad con la distribución normal
  • Las soluciones de las ecuaciones del calor y de la difusión
  • La evaluación de la tasa de error de un canal de comunicación
  1. Error function, Wikipedia
  2. Error Functions, Dawson's and Fresnel Integrals, NIST Digital Library of Mathematical Functions