Gráfica de la función $y = \dfrac{e^x}{x}$

$y = \dfrac{e^x}{x}$ es una exponencial dividida por una función lineal. A diferencia de $\dfrac{\ln x}{x}$, aquí el numerador domina de forma aplastante, así que los valores suben cada vez más bruscamente hacia la derecha. La gráfica se parte en dos en el eje $y$.

Dominio y signo

El dominio es $x \neq 0$. Como $e^x$ es siempre positivo, el signo lo decide únicamente el denominador: $y > 0$ para $x > 0$ e $y < 0$ para $x < 0$, de modo que la curva ocupa el primer y el tercer cuadrante.

Monotonía y extremos

La regla del cociente da la derivada.

Tanto $e^x$ como $x^2$ son positivos, así que el signo es el de $x - 1$. La función decrece en $x < 0$ y en $0 < x < 1$, y después crece para $x > 1$, lo que da un mínimo local de valor $e$ en $x = 1$. La rama negativa no tiene extremo y sencillamente decrece en todo su recorrido.

Rango

En conjunto, el rango es $y < 0$ o $y \geq e$; ningún valor de $0 \leq y < e$ se alcanza jamás.

Asíntotas

El eje $y$ es una asíntota vertical, a la que se acerca hacia $+\infty$ por la derecha y hacia $-\infty$ por la izquierda. Cuando $x \to -\infty$ el factor $e^x$ se desploma hasta $0$ e $y \to 0^{-}$, así que el eje $x$ es una asíntota horizontal solo por la izquierda. Por la derecha no hay ninguna, porque $e^x$ supera a todo polinomio.

Concavidad

La segunda derivada es $y'' = \dfrac{e^x(x^2 - 2x + 2)}{x^3}$. Como $x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1$ es siempre positivo, el signo es el de $x^3$: cóncava hacia arriba para $x > 0$ y cóncava hacia abajo para $x < 0$. El cambio ocurre en $x = 0$, que queda fuera del dominio, así que no hay punto de inflexión.

La desigualdad $e^x \geq ex$

El valor mínimo $e$ de la rama derecha dice que $\dfrac{e^x}{x} \geq e$ para $x > 0$, que es la desigualdad siguiente.

La igualdad se cumple solo en $x = 1$. Para $x \leq 0$ el primer miembro es positivo y el segundo no, así que la desigualdad vale en realidad para todo número real.

La integral exponencial y sus aplicaciones

Esta función no tiene primitiva elemental. En su lugar, $\int \dfrac{e^x}{x}\,dx$ es la integral que define la función especial conocida como integral exponencial $\operatorname{Ei}(x)$. Sustituir $x = e^{u}$ convierte $\int \dfrac{dx}{\ln x}$ en $\int \dfrac{e^{u}}{u}\,du$, lo que muestra que la integral logarítmica $\operatorname{li}(x)$, la mejor aproximación elemental a la función contadora de primos $\pi(x)$, es una integral de esta misma función. La integral exponencial aparece además en la transferencia radiativa y en el transporte de neutrones, allí donde una atenuación exponencial y un factor inversamente proporcional a la distancia actúan a la vez.