Gráfica de la función cúbica $y = x^3 - 3x$

$y = x^3 - 3x$ es la cúbica más cómoda que tiene a la vez un máximo y un mínimo¹. La escueta $y = x^3$ se limita a crecer, pero restar $3x$ produce una cresta y un valle. Como las coordenadas de los extremos son enteras, es el ejemplo preferido para construir tablas de signos.

Dominio y simetría

Tanto el dominio como el rango son el conjunto de todos los números reales. Como $f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$, la función es impar y la gráfica tiene simetría de rotación respecto del origen.

Cortes con los ejes

Al factorizar $x^3 - 3x = x(x^2 - 3)$ aparecen tres cortes con el eje $x$, en $x = 0$ y en $x = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1.732$. Es el caso de una ecuación de tercer grado con tres raíces reales distintas.

Monotonía y extremos

La derivada es $y' = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$.

Los dos extremos tienen coordenadas enteras, y la cresta queda $4$ por encima del valle.

Concavidad

La segunda derivada es $y'' = 6x$, que cambia de signo en $x = 0$. El punto de inflexión es el origen, con la curva cóncava hacia abajo a su izquierda y cóncava hacia arriba a su derecha. El hecho general de que el punto de inflexión de una cúbica sea su centro de simetría aparece aquí como el propio origen.

Contar soluciones

Cortar con la recta horizontal $y = k$ cuenta las soluciones reales de $x^3 - 3x = k$. El mínimo $-2$ y el máximo $2$ son los umbrales.

En los umbrales hay una raíz doble, como confirman las factorizaciones $x^3 - 3x - 2 = (x+1)^2(x-2)$ y $x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)$.

Una forma trigonométrica

Sustituir $x = 2\cos\theta$ y usar la fórmula del ángulo triple $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ convierte la función en $y = 2\cos 3\theta$. El intervalo $-2 \leq x \leq 2$ corresponde a una vuelta completa de $\theta$, y por eso los extremos valen exactamente $\pm 2$.

En términos de polinomios de Chebyshev la función es $y = 2T_3\!\left(\dfrac{x}{2}\right)$², y es la propiedad de equioscilación de esos polinomios, crestas y valles de igual altura alternándose a lo largo del intervalo, la que hace que los valores extremos salgan enteros y limpios.

Resolver la cúbica

Esa sustitución es además una herramienta práctica. Para $|k| \leq 2$, resolver $2\cos 3\theta = k$ da las tres raíces reales.

Este es el casus irreducibilis, en el que las tres raíces son reales y, sin embargo, la fórmula de Cardano solo llega a ellas pasando por raíces cúbicas de números complejos; la trigonometría llega directamente.

1. Cubic function, Wikipedia
2. Chebyshev polynomials, Wikipedia