Traslación de una función recíproca

Consideremos la función racional $y = \dfrac{1}{x - 1} + 2$ . Es la recíproca $y = \dfrac{1}{x}$ trasladada $1$ según el eje $x$ y $2$ según el eje $y$ : se cambia $x$ por $x - 1$ y se suma $2$ al conjunto.

Todo se mueve a la vez

Elemento	$y = \dfrac{1}{x}$	$y = \dfrac{1}{x-1} + 2$
Asíntota vertical	$x = 0$	$x = 1$
Asíntota horizontal	$y = 0$	$y = 2$
Centro de simetría	$(0, 0)$	$(1, 2)$
Dominio	$x \neq 0$	$x \neq 1$
Rango	$y \neq 0$	$y \neq 2$

Los valores prohibidos son exactamente las asíntotas. La recíproca original tenía simetría central respecto del origen, así que, tras la traslación, la imagen del origen asume ese papel.

Monotonía

La derivada es $y' = -\dfrac{1}{(x - 1)^2}$ , negativa en todo el dominio, así que la función decrece en $x < 1$ y decrece en $x > 1$ . Como con $\dfrac{1}{x}$ , las dos ramas no se pueden comparar a través de la asíntota.

La misma forma disfrazada

Esta forma se esconde dentro de expresiones que parecen muy distintas. Tomemos $y = \dfrac{2x - 1}{x - 1}$ y dividamos el numerador entre el denominador.

\frac{2x - 1}{x - 1} = \frac{2(x - 1) + 1}{x - 1} = 2 + \frac{1}{x - 1}

Es precisamente nuestra función. Cualquier cociente de expresiones de primer grado $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ puede reducirse con esta división a una recíproca trasladada y escalada verticalmente. Por eso las gráficas de tales funciones parecen todas la misma hipérbola en lugares distintos.

Comprobación de la simetría central

Punto	Valor	Separación respecto de $2$
$x = 1 + t$	$2 + \dfrac{1}{t}$	$+\dfrac{1}{t}$
$x = 1 - t$	$2 - \dfrac{1}{t}$	$-\dfrac{1}{t}$

Las separaciones respecto de la altura del centro son iguales y opuestas, así que los dos puntos quedan diametralmente enfrentados respecto de $(1, 2)$ : la gráfica es simétrica respecto de ese punto.

La gráfica dibuja la asíntota horizontal como una recta, y el punto grande señala el centro; cerca de la asíntota vertical la gráfica se dispara.