y = \cosh x

Gráfica del coseno hiperbólico $y = \cosh x$

La función coseno hiperbólico $y = \cosh x$ se define a partir de la función exponencial¹.

\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}

Es la contrapartida hiperbólica del coseno ordinario $\cos x$ .

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango es $y \geq 1$
El mínimo $1$ se alcanza en $x = 0$
Es una función par

La relación entre las medias aritmética y geométrica muestra que el valor no baja nunca de $1$ .

\frac{e^x + e^{-x}}{2} \geq \sqrt{e^x \cdot e^{-x}} = 1

La igualdad se cumple solo cuando $e^x = e^{-x}$ , es decir, en $x = 0$ .

Simetría

Como $\cosh(-x) = \dfrac{e^{-x} + e^{x}}{2} = \cosh x$ , la función es par y su gráfica es simétrica respecto del eje $y$ .

Monotonía y mínimo

La derivada es $\dfrac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$ , que es negativa para $x < 0$ y positiva para $x > 0$ . Así que $\cosh x$ decrece a la izquierda del origen y crece a la derecha, y el punto mínimo es $(0, 1)$ .

La segunda derivada es el propio $\cosh x$ , siempre positivo, así que toda la gráfica es cóncava hacia arriba y no tiene punto de inflexión. Dibuja un valle suave, como una U estirada.

Valores destacados

$x$	$\cosh x$
$0$	$1$
$0.5$	$\approx 1.1276$
$1$	$\approx 1.5431$
$2$	$\approx 3.7622$

Por ambos lados crece exponencialmente como $\dfrac{e^{|x|}}{2}$ , y no hay asíntotas horizontales. La serie de Taylor solo tiene potencias pares.

\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots

Relación con la exponencial

\begin{align*} \cosh x + \sinh x &= e^x \\ \cosh x - \sinh x &= e^{-x} \end{align*}

También se cumple la identidad $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ , así que el punto $(\cosh t, \sinh t)$ está sobre la mitad derecha de la hipérbola $x^2 - y^2 = 1$ .

La catenaria

La aplicación más célebre es la catenaria². Una cadena o un cable que cuelgan bajo su propio peso de dos puntos fijos adoptan la forma siguiente.

y = a\cosh\frac{x}{a}

Se parece mucho a una parábola, pero matemáticamente es una curva distinta. Los dos desarrollos se separan a partir del tercer término, así que la diferencia se ensancha cuanto más se aleja uno del origen.

$x$	$\cosh x$	$1 + \dfrac{x^2}{2}$
$0.5$	$\approx 1.1276$	$1.1250$
$1$	$\approx 1.5431$	$1.5000$
$2$	$\approx 3.7622$	$3.0000$

Aplicaciones

La forma de una cadena colgante o de una línea eléctrica
El diseño de arcos en arquitectura
Las ecuaciones de una cuerda vibrante y de la conducción del calor

Hyperbolic functions, Wikipedia
Catenary, Wikipedia

Gráfica del coseno hiperbólico y=cosh⁡xy = \cosh xy=coshx