y = \sqrt{|x|}

Gráfica de la función $y = \sqrt{|x|}$

$y = \sqrt{|x|}$ es la raíz cuadrada del valor absoluto de $x$ . Como $|x|$ nunca es negativo, el radicando tampoco lo es, así que la función está definida en toda la recta real.

Dominio y simetría

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango es $y \geq 0$
Es una función par
El mínimo $0$ se alcanza en el origen

Se parte en $y = \sqrt{x}$ para $x \geq 0$ y en $y = \sqrt{-x}$ para $x < 0$ . Como $|-x| = |x|$ , la gráfica es simétrica respecto del eje $y$ : la mitad derecha es exactamente $\sqrt{x}$ , reflejada respecto del eje y extendida hacia la izquierda.

La cúspide del origen

Intervalo de $x$	Derivada	Límite cuando $x \to 0$
$x > 0$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$+\infty$
$x < 0$	$-\dfrac{1}{2\sqrt{-x}}$	$-\infty$

Las dos tangentes en el origen quedan verticales, así que el origen es una cúspide aguda donde la función no es derivable¹. El valor absoluto $y = |x|$ también tiene ahí un pico, pero esta curva parece aún más afilada porque las tangentes son verticales en lugar de inclinadas.

Puntos destacados

$x$	$\sqrt{\|x\|}$
$\pm 1$	$1$
$\pm 4$	$2$
$\pm 9$	$3$
$\pm 100$	$10$

Cada vez que $|x|$ se cuadruplica, $y$ se duplica. Lejos del origen el crecimiento es mucho más suave que el del propio $|x|$ : en $x = 100$ el valor absoluto vale $100$ mientras que esta función da solo $10$ .

Comparación con una forma parecida

Se parece a $y = x^{2/3}$ , que también tiene una cúspide en el origen, pero cerca del origen $\sqrt{|x|}$ se acerca a $0$ más despacio.

$x$	$\sqrt{\|x\|}$	$x^{2/3}$
$0.01$	$0.1$	$\approx 0.046$
$1$	$1$	$1$
$100$	$10$	$\approx 21.5$

Cerca del origen la primera es mayor; a lo lejos la segunda la adelanta.

Dónde se usa

Como composición básica de la raíz cuadrada y el valor absoluto, es un ejemplo predilecto para estudiar cómo se hace par una función y cómo surge una cúspide en el origen. Aparece también al tratar magnitudes relacionadas con distancias o dispersiones.

Singular point of a curve, Wikipedia