y = \sin x

Gráfica de la función seno $y = \sin x$

$y = \sin x$ es la coordenada $y$ del punto que está en el ángulo $x$ , medido en radianes, sobre la circunferencia unidad. Conforme el ángulo crece, el punto recorre la circunferencia y su altura sube y baja; estirar ese movimiento a lo largo del eje horizontal traza esta sinusoide¹.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales. Como el valor es la altura de un punto de la circunferencia unidad, $-1 \leq \sin x \leq 1$ , así que el rango es el intervalo $[-1, 1]$ .

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango es $-1 \leq y \leq 1$
El máximo es $1$ y el mínimo es $-1$
La amplitud es $1$ y el período es $2\pi$

Periodicidad

Dar una vuelta completa a la circunferencia devuelve el punto al lugar de partida, así que $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ . El período es $2\pi$ , y la misma onda se repite sin fin en ambas direcciones.

Simetría

Como $\sin(-x) = -\sin x$ , es una función impar cuya gráfica tiene simetría central respecto del origen.

Monotonía y extremos

La derivada es $y' = \cos x$ , así que la función crece donde $\cos x > 0$ y decrece donde $\cos x < 0$ . Alcanza su máximo $1$ en $x = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi$ y su mínimo $-1$ en $x = \dfrac{3\pi}{2} + 2n\pi$ .

La segunda derivada $y'' = -\sin x$ cambia de signo en cada cero $x = n\pi$ , así que los puntos de inflexión están en $x = n\pi$ , donde la tangente tiene pendiente $\pm 1$ . Ceros y puntos de inflexión coinciden porque la función cumple $y'' = -y$ .

Valores destacados

$x$	$\sin x$
$0$	$0$
$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{\pi}{2}$	$1$
$\pi$	$0$

Los ceros son las soluciones de $\sin x = 0$ , a saber, $x = n\pi$ con $n$ entero, espaciados uniformemente cada $\pi$ .

Aproximación cerca del origen

La tangente en el origen es la recta $y = x$ , de pendiente $1$ , lo que refleja el límite siguiente.

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Por eso $\sin x \approx x$ para ángulos pequeños. La serie de Taylor converge para todo número real.

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots

Que solo aparezcan potencias impares es como se manifiesta la imparidad del lado de la serie.

El ciclo de las derivadas

Veces derivada	Derivada
$1$	$\cos x$
$2$	$-\sin x$
$3$	$-\cos x$
$4$	$\sin x$

Cuatro pasos la devuelven al punto de partida.

Relación con otras funciones

Como $\cos x = \sin\left( x + \dfrac{\pi}{2} \right)$ , el coseno es esta onda desplazada $\dfrac{\pi}{2}$ hacia la izquierda. La identidad $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ no es más que la ecuación de la circunferencia unidad. En la fórmula de Euler $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ , el seno aporta la parte imaginaria.

Aplicaciones

El movimiento armónico simple, como el de un muelle o un péndulo
Las ondas de sonido, de luz y de radio
La corriente y la tensión alternas
La onda básica del análisis de Fourier

El análisis de Fourier va más lejos: toda onda periódica puede escribirse como superposición de ondas sinusoidales². La sinusoide es la forma básica de todo lo que se repite.

Sine and cosine, Wikipedia
Fourier series, Wikipedia

Gráfica de la función seno y=sin⁡xy = \sin xy=sinx