Intersección de dos circunferencias

La intersección de dos circunferencias es un punto que está sobre ambas a la vez. Aquí miramos cómo $x^2 + y^2 = 25$, centrada en el origen con radio $5$, se encuentra con $(x - 8)^2 + y^2 = 25$, centrada en $(8, 0)$ con el mismo radio.

Restar elimina los términos cuadráticos

En una intersección se cumplen las dos ecuaciones a la vez, así que podemos restar una de la otra.

Al desarrollar queda $16x - 64 = 0$, es decir, $x = 4$. Sustituyendo en la primera circunferencia resulta $y^2 = 9$, de modo que los puntos de intersección son $(4, 3)$ y $(4, -3)$.

La cuerda común

La ecuación de primer grado que ha salido de la resta es la recta que pasa por los dos puntos de intersección. Para hallar dónde se encuentran dos circunferencias, el método habitual es restar primero para obtener esa recta y sustituirla después en una de las ecuaciones. La resta convierte el problema en otro que ya sabemos resolver: la intersección de una circunferencia y una recta.

Como en este ejemplo los dos radios son iguales, las intersecciones están sobre la mediatriz del segmento que une los centros y, en efecto, $x = 4$ es la recta vertical que queda a medio camino entre ellos. La cuerda común mide $6$. En todos los casos los dos puntos de intersección son simétricos respecto de la recta que une los centros.

Contar antes de resolver

Cómo se encuentran las circunferencias lo decide la distancia $d$ entre los centros comparada con los radios.

Aquí $d = 8$, $r_1 + r_2 = 10$ y $|r_1 - r_2| = 0$, así que las circunferencias se cortan en dos puntos, como hemos hallado. El recuento queda decidido solo por los centros y los radios, antes de resolver ecuación alguna.

Los puntos grandes de la gráfica son esos dos puntos de intersección.

1. Circle, Wikipedia