y = \coth x

Gráfica de la cotangente hiperbólica $y = \coth x$

La función cotangente hiperbólica $y = \coth x$ se define como el cociente del coseno hiperbólico entre el seno hiperbólico, es decir, como la inversa multiplicativa de la tangente hiperbólica¹.

\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{1}{\tanh x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}

Es la contrapartida hiperbólica de la cotangente ordinaria $\cot x$ .

Dominio y rango

El dominio es $x \neq 0$
El rango es $y < -1$ o $y > 1$
Decrece de forma monótona en cada rama
Es una función impar

El denominador $\sinh x$ se anula solo en $x = 0$ . El valor es siempre mayor que $1$ o menor que $-1$ , y nada de $-1 \leq y \leq 1$ se alcanza jamás.

Simetría

Como $\coth(-x) = -\coth x$ , la función es impar y su gráfica es simétrica respecto del origen.

Monotonía

La derivada es la siguiente.

\frac{d}{dx}\coth x = -\operatorname{csch}^2 x = 1 - \coth^2 x

Es negativa en todo el dominio, así que la función es estrictamente decreciente tanto en la rama con $x > 0$ como en la rama con $x < 0$ .

Asíntotas

Aproximación	$\coth x$
$x \to 0^{+}$	$\to +\infty$
$x \to 0^{-}$	$\to -\infty$
$x \to +\infty$	$\to 1$
$x \to -\infty$	$\to -1$

La recta $x = 0$ es una asíntota vertical y las rectas $y = 1$ e $y = -1$ son horizontales. La gráfica consta de dos ramas, una arriba y otra abajo, separadas por el origen.

Valores destacados

$x$	$\coth x$
$0.5$	$\approx 2.1640$
$1$	$\approx 1.3130$
$2$	$\approx 1.0373$
$3$	$\approx 1.0050$

Cerca del origen $\sinh x \approx x$ , así que $\coth x \approx \dfrac{1}{x}$ y la divergencia se parece a la de una proporcionalidad inversa.

Comparación con la tangente hiperbólica

Aspecto	$\tanh x$	$\coth x$
Dominio	todos los números reales	$x \neq 0$
Rango	$(-1, 1)$	$\|y\| > 1$
Cerca del origen	$\approx x$	$\approx \dfrac{1}{x}$
A lo lejos	$\to \pm 1$	$\to \pm 1$
Comportamiento	creciente	decreciente en cada rama

Diverger cerca del origen y asentarse en $\pm 1$ a lo lejos es exactamente lo contrario de $\tanh x$ . También se cumple la identidad $\coth^2 x - \operatorname{csch}^2 x = 1$ .

Aplicaciones

En mecánica estadística aparece como parte de la función de Langevin, que describe la imanación de un material paramagnético².

L(x) = \coth x - \frac{1}{x}

Aparece también en expresiones relacionadas con la ley de Planck de la radiación del cuerpo negro y con el modelo de Einstein del calor específico.

Hyperbolic functions, Wikipedia
Brillouin and Langevin functions, Wikipedia

Gráfica de la cotangente hiperbólica y=coth⁡xy = \coth xy=cothx