y = x^2(x-1)

Gráfica de la función cúbica $y = x^2(x-1)$

$y = x^2(x-1)$ desarrollado es $x^3 - x^2$ . La forma factorizada muestra una raíz doble en $x = 0$ y una raíz simple en $x = 1$ , y la gráfica toca el eje $x$ en la primera mientras que lo atraviesa en la segunda¹. Es una ilustración todo lo limpia que uno pueda desear de cómo la multiplicidad de una raíz se manifiesta en el dibujo.

Cortes con los ejes y signo

Como $x^2 \geq 0$ , el signo del valor lo decide únicamente $x - 1$ .

Intervalo de $x$	Signo de $y$
$x < 0$	negativo
$x = 0$	$0$ , toca el eje
$0 < x < 1$	negativo
$x = 1$	$0$ , lo atraviesa
$x > 1$	positivo

Alrededor de $x = 0$ el signo no cambia, así que la curva solo roza el eje y vuelve a caer por debajo.

Por qué una raíz doble significa tangencia

Cuando $f(x)$ tiene a $(x-a)^2$ como factor, no solo $f(a) = 0$ , sino también $f'(a) = 0$ . En efecto, $y' = 3x^2 - 2x = x(3x-2)$ , que se anula en $x = 0$ . Un punto donde se anulan a la vez el valor y la pendiente es exactamente un punto donde el eje $x$ es la recta tangente. Una raíz doble no es, por tanto, solo la coincidencia de dos soluciones, sino una afirmación geométrica sobre tangencia.

Monotonía y extremos

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\dfrac{2}{3}$	$\cdots$
$y'$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	creciente	máximo $0$	decreciente	mínimo $-\dfrac{4}{27}$	creciente

Obsérvese que la raíz doble es justamente el lugar del máximo: tocar el eje y cambiar de sentido son el mismo suceso.

Concavidad y centro de simetría

La segunda derivada es $y'' = 6x - 2$ , que cambia de signo en $x = \dfrac{1}{3}$ , así que el punto de inflexión es $\left(\dfrac{1}{3}, -\dfrac{2}{27}\right)$ . Queda exactamente a mitad de camino entre los dos extremos: su coordenada $x$ es la media de $0$ y $\dfrac{2}{3}$ , y su coordenada $y$ , la media de $0$ y $-\dfrac{4}{27}$ . Como el punto de inflexión de cualquier cúbica es su centro de simetría, girar la gráfica $180^\circ$ alrededor de ese punto la lleva sobre sí misma.

Clasificación por multiplicidad

Raíces	Comportamiento en el eje $x$	Ejemplo
tres distintas	lo atraviesa en tres lugares	$x^3 - 3x$
doble y simple	lo toca en uno y lo atraviesa en otro	$x^2(x-1)$
triple	lo toca y lo atraviesa en un mismo punto	$x^3$

Esta función es la representante del caso intermedio.

Contar soluciones

El número de soluciones reales de $x^2(x-1) = k$ se lee como intersecciones con una recta horizontal.

Intervalo de $k$	Soluciones reales
$-\dfrac{4}{27} < k < 0$	$3$
$k = -\dfrac{4}{27}$ o $k = 0$	$2$
en los demás casos	$1$

Poder leer las raíces dobles en los extremos, en lugar de calcular un discriminante, es básico en el trato con las cúbicas.

Zero of a function, Wikipedia

Gráfica de la función cúbica y=x2(x−1)y = x^2(x-1)y=x2(x−1)