La derivada y la recta tangente

Una recta que toca una curva en un solo punto es una tangente¹. En cuanto se conoce la derivada, la ecuación de la tangente sale de inmediato. Hallamos la tangente a $f(x) = x^3 - 3x$ en $x = 2$ .

El procedimiento

Paso	Cálculo	Resultado
Hallar la derivada	$f'(x) = 3x^2 - 3$	una fórmula
Calcular la pendiente	$f'(2) = 12 - 3$	$9$
Calcular el punto	$f(2) = 8 - 6$	$2$

La recta de pendiente $9$ que pasa por $(2, 2)$ es, por tanto, la siguiente.

y = f(2) + f'(2)(x - 2) = 2 + 9(x - 2) = 9x - 16

En general, la tangente en $x = a$ tiene la forma siguiente.

y = f(a) + f'(a)(x - a)

Sea cual sea la curva, el orden de los pasos no cambia.

Una tangente puede cruzar la curva

Una tangente toca la curva en su punto de tangencia, pero puede perfectamente cruzarla en otro sitio. Resolver $x^3 - 3x = 9x - 16$ lo muestra.

x^3 - 12x + 16 = (x - 2)^2(x + 4) = 0

Aquí $x = 2$ es una raíz doble y $x = -4$ es otra. La tangente atraviesa la curva en $(-4, -52)$ .

Que el punto de tangencia dé una raíz doble es el significado algebraico de tocar. El criterio de resolver a la vez una curva y una recta y buscar una raíz doble viene exactamente de ahí.

Una tangente es además una aproximación lineal

El valor $f'(2) = 9$ dice que, cerca de $x = 2$ , un pequeño aumento de $x$ eleva $y$ unas nueve veces más.

$x$	$f(x)$	Valor sobre la tangente
$2$	$2$	$2$
$2.1$	$2.961$	$2.9$

Los dos están cerca. Una tangente es también la aproximación lineal de la curva.

La normal y las tangentes horizontales

La recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia es la normal, y su pendiente es $-\dfrac{1}{f'(a)} = -\dfrac{1}{9}$ .

Una tangente es horizontal cuando $f'(a) = 0$ , lo que aquí significa $3x^2 - 3 = 0$ , es decir, $x = \pm 1$ : el máximo y el mínimo locales. Examinar la pendiente de la tangente es exactamente lo mismo que examinar dónde crece y dónde decrece la función.

La cúbica de la gráfica es $y = x^3 - 3x$ , la recta es la tangente $y = 9x - 16$ , y el punto grande es el punto de tangencia $(2, 2)$ .

Tangent, Wikipedia