y = \dfrac{1}{1+x^2}

La bruja de Agnesi $y = \dfrac{1}{1+x^2}$

$y = \dfrac{1}{1+x^2}$ es una función racional conocida como bruja de Agnesi¹, y su gráfica es una campana muy parecida a la gaussiana. Como su denominador es un polinomio y no una exponencial, sus colas caen con más suavidad que las de la gaussiana.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales
El rango es $0 < y \leq 1$
Es una función par
El máximo $1$ se alcanza en el origen

El denominador $1 + x^2$ vale siempre al menos $1$ y no se anula nunca, así que la función está definida en todas partes.

Monotonía y extremos

La derivada es $f'(x) = \dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}$ . Es positiva para $x < 0$ y negativa para $x > 0$ , de modo que la curva alcanza su máximo en la cima $(0, 1)$ y decrece a ambos lados.

Asíntota y decaimiento

Cuando $x \to \pm\infty$ el denominador crece sin límite e $y \to 0$ , así que el eje $x$ es una asíntota horizontal.

$x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$	$e^{-x^2}$
$1$	$0.5$	$\approx 0.368$
$2$	$0.2$	$\approx 0.018$
$3$	$0.1$	$\approx 0.0001$

El decaimiento es solo del orden de $\dfrac{1}{x^2}$ , así que las colas se mantienen mucho más pesadas que las de la gaussiana.

Puntos de inflexión

La segunda derivada $f''(x) = \dfrac{6x^2 - 2}{(1+x^2)^3}$ cambia de signo en $x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx \pm 0.577$ , donde $y = \dfrac{3}{4}$ . Esos hombros marcan el paso de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.

Relación con otras funciones

Esta función es exactamente la derivada del arcotangente.

\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}

Su integral en toda la recta es $\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{dx}{1+x^2} = \pi$ , y al dividir por $\pi$ se obtiene $\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}$ , la densidad de probabilidad de la distribución de Cauchy².

Historia y aplicaciones

La curva debe su nombre a la matemática italiana del siglo XVIII Maria Gaetana Agnesi. Cuando apareció en su libro de texto de $1748$ , la palabra italiana que designaba una curva que gira se confundió con la que significa diablesa, de donde salió la célebre traducción errónea al inglés, «witch». Hoy aparece como la distribución de Cauchy en probabilidad y como la función lorentziana que describe la resonancia.

Witch of Agnesi, Wikipedia
Cauchy distribution, Wikipedia

La bruja de Agnesi y=11+x2y = \dfrac{1}{1+x^2}y=1+x21​