Integración por partes

La integración por partes es la regla del producto usada al revés¹. Lo comprobamos con $\int xe^{-x}\,dx$ .

La fórmula

\int f g'\,dx = fg - \int f' g\,dx

Sale de integrar los dos miembros de la regla del producto $(fg)' = f'g + fg'$ y reordenar. Se eligen $f$ y $g'$ de modo que la integral que queda a la derecha sea más sencilla que la original.

El cálculo

Tomando $f = x$ y $g' = e^{-x}$ resulta $f' = 1$ y $g = -e^{-x}$ , así que el resultado es el siguiente.

\int xe^{-x}\,dx = -xe^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -(x + 1)e^{-x} + C

Al derivar para comprobarlo se obtiene $-e^{-x} + (x + 1)e^{-x} = xe^{-x}$ , que devuelve la función original.

Cómo hacer la elección

Elección	Integral que queda	Resultado
$f = x$ , $g' = e^{-x}$	$\int e^{-x}dx$	más sencilla
$f = e^{-x}$ , $g' = x$	$\int \dfrac{x^2}{2}e^{-x}dx$	el grado sube

El truco está en poner en $f$ el factor que se simplifica al derivar.

Funciona en un intervalo infinito

Como $-(x + 1)e^{-x} \to 0$ cuando $x \to \infty$ , se cumple lo siguiente.

\int_0^{\infty} xe^{-x}\,dx = 0 - (-1) = 1

Eso dice que la media de la distribución exponencial es $1$ .

Leer un factor $1$

Para $\int \log x\,dx$ , tomando $f = \log x$ y $g' = 1$ resulta $x\log x - \int 1\,dx = x\log x - x$ . Aun cuando nada parece un producto, leer un factor $1$ permite aplicar la integración por partes.

El tipo que vuelve tras dos vueltas

En $\int e^x \sin x\,dx$ , dos vueltas de integración por partes devuelven la integral original a la derecha. Resolviendo el resultado como una ecuación se obtiene lo siguiente.

\int e^x \sin x\,dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C

Parece dar vueltas en círculo y, sin embargo, es un tipo poco común que se resuelve solo.

La curva con joroba de la gráfica es $y = xe^{-x}$ , la curva que sube desde abajo hacia $0$ es la primitiva $y = -(x + 1)e^{-x}$ , y los puntos grandes son el máximo local y $(0, -1)$ .

Integration by parts, Wikipedia