El discriminante y los cortes con el eje x

El número de puntos que una parábola comparte con el eje xx lo decide el signo del discriminante D=b2−4acD = b^2 - 4ac1.

Por qué lo decide DD por sí solo

Los puntos comunes tienen coordenadas xx que resuelven ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, y la fórmula cuadrática dice lo siguiente.

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

La expresión que va bajo la raíz es exactamente DD.

DDD\sqrt{D}Soluciones
D>0D > 0un número real positivodos, separadas por el ±\pm
D=0D = 000una raíz doble −b2a-\dfrac{b}{2a}
D<0D < 0no es realninguna

Tres parábolas comparadas

ParábolaDDPuntos comunes
y=x2−2x−3y = x^2 - 2x - 31616x=−1x = -1 y x=3x = 3
y=x2−2x+1y = x^2 - 2x + 100tangente en (1,0)(1, 0)
y=x2−2x+2y = x^2 - 2x + 2−4-4ninguno

La misma parábola a tres alturas

Las tres son en realidad una sola parábola subida y bajada. Al completar el cuadrado se convierten en (x−1)2−4(x - 1)^2 - 4, (x−1)2(x - 1)^2 y (x−1)2+1(x - 1)^2 + 1: todos los vértices están sobre x=1x = 1, y lo único que cambia es la altura.

Altura del vérticeCortes
−4-4 (bajo el eje)dos
00 (sobre el eje)tangencia
11 (por encima del eje)ninguno

Lo que el discriminante informa en realidad es la altura del vértice. En efecto, el vértice tiene coordenada yy igual a −D4a-\dfrac{D}{4a}, que aquí vale −4-4, 00 y 11, precisamente las tres alturas.

Más allá del eje xx

El discriminante no se limita al eje xx. Combinar una parábola con una recta cualquiera y simplificar da una ecuación de segundo grado, y el signo de su DD decide del mismo modo si se cortan dos veces, se tocan o no se encuentran. Por eso D=0D = 0 es la condición de tangencia de una recta.

Los puntos grandes señalan los puntos comunes.

  1. Discriminant, Wikipedia