La relación entre el seno y el coseno

Las gráficas de $y = \sin x$ e $y = \cos x$ tienen exactamente la misma forma y se diferencian solo en un desplazamiento horizontal. Aquí confirmamos esa relación con fórmulas.

La traslación

El coseno es el seno desplazado $\dfrac{\pi}{2}$ hacia la izquierda.

\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)

Desplazar una gráfica $\dfrac{\pi}{2}$ hacia la izquierda equivale a cambiar $x$ por $x + \dfrac{\pi}{2}$ , y las crestas del seno caen entonces exactamente sobre las del coseno. En general, $y = f(x - a)$ es la gráfica desplazada $a$ hacia la derecha, así que un $+\dfrac{\pi}{2}$ produce un desplazamiento hacia la izquierda. El signo se lee al revés con facilidad, de modo que conviene cierto cuidado.

Comprobarlo con las crestas

Función	Dónde cae el máximo	Ceros
$y = \sin x$	$\dfrac{\pi}{2} + 2n\pi$	$n\pi$
$y = \cos x$	$2n\pi$	$\dfrac{\pi}{2} + n\pi$

La cresta del coseno queda $\dfrac{\pi}{2}$ a la izquierda de la del seno, que es exactamente la magnitud del desplazamiento. Los ceros están desplazados otro tanto.

Verlo en la circunferencia unidad

La relación se ve mejor en la circunferencia unidad. Para un punto de esa circunferencia, el coseno es la coordenada horizontal y el seno, la vertical. Avanzar el ángulo en $\dfrac{\pi}{2}$ gira el punto $90^\circ$ , así que la coordenada vertical de ahora pasa a ser la horizontal de después.

\sin\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\theta

El desplazamiento que produce la derivación

Como $(\sin x)' = \cos x$ , derivar puede leerse como una operación que desplaza la onda $\dfrac{\pi}{2}$ hacia la izquierda.

Veces derivada	Resultado	Desplazamiento total
$1$	$\cos x$	$\dfrac{\pi}{2}$
$2$	$-\sin x$	$\pi$
$3$	$-\cos x$	$\dfrac{3\pi}{2}$
$4$	$\sin x$	$2\pi$

Que cuatro derivaciones devuelvan la función original encaja con esta lectura: el desplazamiento total es un $2\pi$ completo.

La relación en sentido contrario

Igualmente, el seno es el coseno desplazado $\dfrac{\pi}{2}$ hacia la derecha.

\sin x = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)

Desfase

Este desplazamiento entre dos ondas se llama desfase. Es una idea básica en las aplicaciones, como la corriente que atraviesa una bobina o un condensador en un circuito de corriente alterna, que va $\dfrac{\pi}{2}$ desacompasada respecto de la tensión.

Los puntos grandes de la gráfica son la cresta del coseno en $(0, 1)$ y la cresta del seno en $\left( \dfrac{\pi}{2}, 1 \right)$ .