y = xe^{-x^2}

Gráfica de la función $y = xe^{-x^2}$

$y = xe^{-x^2}$ es una función lineal multiplicada por una gaussiana. Como la derivada de la gaussiana $e^{-x^2}$ es $-2xe^{-x^2}$ , esta función es, salvo un factor constante, la pendiente de la gaussiana. Al ser impar, muestra una cresta y un valle.

Dominio y simetría

El dominio es el conjunto de todos los números reales. Como $f(-x) = -f(x)$ , la función es impar, con simetría central respecto del origen. Es positiva para $x > 0$ y negativa para $x < 0$ , y el origen es su único corte con el eje $x$ .

Monotonía y extremos

La regla del producto da lo siguiente.

y' = (1 - 2x^2)e^{-x^2}

Como $e^{-x^2}$ es positivo, el signo lo da $1 - 2x^2$ , que se anula en $x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ .

$x$	$y$	Posición
$-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.707$	$\approx -0.4289$	mínimo local
$0$	$0$	punto de inflexión
$\dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$	$\approx 0.4289$	máximo local
$\sqrt{\dfrac{3}{2}} \approx 1.225$	$\approx 0.2733$	punto de inflexión

Los valores extremos son $\pm\dfrac{1}{\sqrt{2e}}$ , y el rango queda entre ellos. El factor lineal se estira con $x$ , pero el decaimiento exponencial lo adelanta enseguida, así que la cresta no llega nunca muy alto.

Asíntota

Cuando $x \to \pm\infty$ el decaimiento de $e^{-x^2}$ aplasta el crecimiento de $x$ , así que $y \to 0$ y el eje $x$ es una asíntota horizontal. La función racional $\dfrac{x}{1+x^2}$ es igualmente impar y tiene una cresta y un valle, pero cae solo como $\dfrac{1}{x}$ , mientras que esta se desploma a $0$ de golpe.

Puntos de inflexión

La segunda derivada es $y'' = 2x(2x^2 - 3)e^{-x^2}$ . Su signo cambia en $x = 0$ y en $x = \pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}$ , así que hay tres puntos de inflexión.

Relación con la gaussiana

\frac{d}{dx}e^{-x^2} = -2xe^{-x^2} = -2y

Esta función es la derivada de la gaussiana multiplicada por $-\dfrac{1}{2}$ , y de ahí puede leerse algo. Los puntos de inflexión de la gaussiana están en $x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , exactamente donde esta función tiene sus extremos. La regla general de que la derivada alcanza un extremo allí donde la función original tiene un punto de inflexión se vuelve visible aquí.

Integral

La primitiva es $-\dfrac{1}{2}e^{-x^2}$ .

\int_0^{\infty} xe^{-x^2}\,dx = \frac{1}{2}

Al ser impar, su integral en toda la recta vale $0$ . Restringirse a $x \geq 0$ y duplicar da $2xe^{-x^2}$ , cuya integral es $1$ : la densidad de la distribución de Rayleigh¹.

Aplicaciones

En procesamiento de imágenes, en lugar de suavizar con una gaussiana y derivar después, se convoluciona con esta forma ya derivada a modo de filtro. Es la base de la detección de bordes, del método de Canny en adelante, y la manera habitual de obtener una derivada robusta frente al ruido².

En física, la distribución de velocidades moleculares de un gas bidimensional adopta esta forma. Cuando cada componente de la velocidad se distribuye normalmente, las velocidades pequeñas tienen pocas direcciones disponibles y las grandes quedan frenadas por el factor exponencial, así que se forma una cresta entre medias.

Rayleigh distribution, Wikipedia
Canny edge detector, Wikipedia

Gráfica de la función y=xe−x2y = xe^{-x^2}y=xe−x2