Gráfica de la función $y = x|x|$

$y = x|x|$ vale $x^2$ para $x \geq 0$ y $-x^2$ para $x < 0$. Conserva la mitad derecha de una parábola y refleja la izquierda respecto del origen, convirtiendo la función par $x^2$ en una impar. Es el ejemplo conocido más simple de función que puede derivarse una vez pero no dos.

Dominio y simetría

Tanto el dominio como el rango son el conjunto de todos los números reales. Como $f(-x) = (-x)|-x| = -x|x| = -f(x)$, la función es impar, con simetría de rotación respecto del origen. Es positiva para $x > 0$ y negativa para $x < 0$, y el origen es su único cero.

Monotonía

La derivada es $2x$ para $x > 0$ y $-2x$ para $x < 0$, lo que puede escribirse junto en una sola fórmula.

En el origen las derivadas laterales valen ambas $0$ y por tanto coinciden, así que $y'(0) = 0$ está bien definida. La derivada existe, pues, en toda la recta real y es continua. Como $y' \geq 0$, la función crece en todo su dominio y no tiene extremos.

Derivable una vez pero no dos

La derivada $y' = 2|x|$ es continua pero, al ser un valor absoluto, no es derivable en el origen. La segunda derivada vale $2$ para $x > 0$ y $-2$ para $x < 0$, valores que no coinciden en $0$. La función es, por tanto, continuamente derivable una vez pero no dos. En una fórmula breve muestra que la suavidad admite grados.

Concavidad

Por el signo de la segunda derivada, la curva es cóncava hacia arriba para $x > 0$ y cóncava hacia abajo para $x < 0$, de modo que la concavidad se invierte en el origen y este resulta ser un punto de inflexión. La tangente allí es horizontal y, sin embargo, no hay extremo, igual que en $y = x^3$.

La diferencia es que $x^3$ puede derivarse cuantas veces se quiera, mientras que esta función tropieza en la segunda derivada. Las dos gráficas se cortan en $x = 0$ y en $x = \pm 1$, y $x|x|$ se abomba más cerca del origen.

Función inversa

En el lado con $y \geq 0$, despejar en $y = x^2$ da $x = \sqrt{y}$; donde $y < 0$, despejar en $y = -x^2$ da $x = -\sqrt{-y}$. Reunidas, la inversa se escribe así.

Esta es la llamada raíz cuadrada con signo, la función par $\sqrt{|x|}$ reconstruida como impar. Está construida exactamente igual que la función de partida.

Integral

La primitiva es $\dfrac{x^2|x|}{3}$, que vale $\dfrac{x^3}{3}$ para $x > 0$ y $-\dfrac{x^3}{3}$ para $x < 0$; al derivar en cualquiera de los dos intervalos se recupera $x|x|$. Al ser impar, la función se integra a $0$ en todo intervalo simétrico respecto del origen.

Aplicaciones

La resistencia del aire proporcional al cuadrado de la velocidad se escribe, en cuanto se tiene en cuenta la dirección, como proporcional a $-v|v|$. Escribir simplemente $-v^2$ dejaría el arrastre apuntando hacia atrás incluso cuando el cuerpo se mueve hacia atrás; multiplicar por $|v|$ mantiene la magnitud cuadrática y hace que la dirección se oponga siempre al movimiento. Una gráfica del arrastre frente a la velocidad es exactamente esta curva. En análisis numérico sirve además como función de prueba para comprobar qué grado de suavidad exige un método.