La mitad superior del astroide $y = \left(1 - |x|^{2/3}\right)^{3/2}$

$y = \left(1 - |x|^{2/3}\right)^{3/2}$ es la mitad superior del astroide¹. El nombre viene de la palabra griega para estrella, y la curva es conocida por los cuatro picos agudos de sus esquinas.

Como $x^{2/3}$ es igual a $|x|^{2/3}$ incluso para $x$ negativo, la fórmula se comporta igual a ambos lados del eje $y$.

Dominio y simetría

• El dominio es $-1 \leq x \leq 1$
• El rango es $0 \leq y \leq 1$
• Es una función par
• Pasa por el vértice $(0, 1)$ y toca el eje $x$ en $(\pm 1, 0)$

Junto con la mitad inferior, la curva completa es simétrica respecto del eje $x$, del eje $y$ y del origen, y se aplica sobre sí misma al girarla $90^\circ$ alrededor del origen.

Parametrización

Poniendo $x = \cos^3 t$ e $y = \sin^3 t$ se cumple $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, así que esta parametrización recorre la curva entera exactamente una vez. La mitad superior corresponde a $0 \leq t \leq \pi$.

Cúspides y tangentes

Para $0 < x < 1$ la derivada es $y' = -\dfrac{\sqrt{1 - x^{2/3}}}{x^{1/3}}$.

El vértice es, por tanto, una cúspide con tangente vertical, donde las dos ramas se encuentran en un pico en lugar de unirse suavemente. Las cuatro esquinas son cúspides de esta clase.

Concavidad

Para $0 < x < 1$ se tiene $y'' > 0$, así que la curva es cóncava hacia arriba y, por simetría, la mitad izquierda también. No hay punto de inflexión. La curva cae bruscamente desde el vértice y se aplana al acercarse al eje $x$.

Perímetro y área

Ambas magnitudes son aquí menores, exactamente en la medida en que los lados se curvan hacia dentro.

Envolvente de un segmento

Deslicemos un segmento de longitud $1$ de modo que sus dos extremos se mantengan sobre el eje $x$ y el eje $y$. La familia de tales segmentos envuelve precisamente este astroide: si los cortes con los ejes son $(a, 0)$ y $(0, b)$ con $a^2 + b^2 = 1$, la recta toca la curva en $(a^3, b^3)$. Dicho de otro modo, es el contorno que barre una escalera al resbalar por una pared.

Construcción e historia

El astroide es una hipocicloide: la trayectoria que describe un punto de una circunferencia de radio $\dfrac{1}{4}$ que rueda sin deslizar por dentro de otra de radio $1$.

Apareció en el siglo XVII en el estudio de los dientes de engranaje de Romer y lo retomaron Johann Bernoulli y Leibniz; el nombre astroide solo se impuso en el siglo XIX.

1. Astroid, Wikipedia