La cisoide de Diocles $y = \sqrt{\dfrac{x^3}{1-x}}$

$y = \sqrt{\dfrac{x^3}{1-x}}$ es la mitad superior de la cisoide de Diocles¹. Al elevar al cuadrado ambos miembros se obtiene la ecuación de la curva, $y^2(1-x) = x^3$. El matemático griego Diocles la ideó hacia el siglo II a. C. para resolver el problema de la duplicación del cubo, y el nombre viene de una palabra griega que significa «en forma de hiedra».

Dominio y rango

El dominio es, por tanto, $0 \leq x < 1$ y el rango es $y \geq 0$. Junto con la mitad inferior, la curva completa es simétrica respecto del eje $x$.

La cúspide del origen

Cerca del origen $1 - x \approx 1$, de modo que la curva se comporta como $y \approx x^{3/2}$ y $y' = \dfrac{3}{2}x^{1/2} \to 0$. La tangente en el origen es, por tanto, el eje $x$ pero, como las ramas superior e inferior llegan ambas desde la misma dirección, no se unen suavemente: el origen es una cúspide.

Monotonía y asíntota

Derivando $y^2 = \dfrac{x^3}{1-x}$ se obtiene $2yy' = \dfrac{x^2(3-2x)}{(1-x)^2}$, cuyo segundo miembro es positivo en $0 < x < 1$, así que la curva crece en todo el intervalo. Cuando $x \to 1^{-}$ el denominador tiende a $0$ e $y \to +\infty$, lo que hace de la recta $x = 1$ una asíntota vertical. La curva sale del origen y trepa a lo largo de esa asíntota.

Construcción geométrica

Tomemos la circunferencia $x^2 + y^2 = x$ de diámetro $1$ y la recta $x = 1$, tangente a ella en $(1, 0)$. Sea un rayo desde el origen que corte a la circunferencia en $Q$ y a la recta en $R$, y marquemos sobre ese rayo el punto $P$ cuya distancia al origen sea igual a la longitud $QR$. El lugar geométrico de $P$ es la cisoide.

En efecto, $OQ = \cos\theta$ y $OR = \sec\theta$, de modo que $OP = \sec\theta - \cos\theta$, lo que da la ecuación polar siguiente.

La duplicación del cubo

Duplicar el volumen de un cubo dado significa construir $\sqrt[3]{2}$, cosa que se sabe imposible solo con regla y compás². Diocles lo resolvió con esta curva. En cualquier punto de la cisoide se cumple la identidad siguiente.

Cortar la curva con la recta $y = 2(1-x)$ que une $(1, 0)$ y $(0, 2)$ hace que el segundo miembro valga $2$, de modo que la razón $\dfrac{y}{x}$ en esa intersección es exactamente $\sqrt[3]{2}$. Sustituir $(0, 2)$ por $(0, k)$ da $\sqrt[3]{k}$ con la misma construcción.

Relación con la parábola

Al invertir la curva respecto de la circunferencia unidad centrada en el origen, es decir, al llevar cada punto $P$ al punto $P'$ del mismo rayo con $OP \cdot OP' = 1$, se convierte en la parábola $y^2 = x$. Recíprocamente, la cisoide es la inversa de una parábola respecto de su vértice. Como curva cúbica con una asíntota y una cúspide, aparece además en la clasificación de las cúbicas de Newton.

1. Cissoid of Diocles, Wikipedia
2. Doubling the cube, Wikipedia