Circunferencia tangente al eje x

Consideremos la circunferencia $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$, de centro $(2, 2)$ y radio $2$. La distancia del centro al eje $x$ es la coordenada $y$ del centro, que coincide con el radio.

La condición de tangencia

Cuando la distancia del centro a una recta es igual al radio, la circunferencia es tangente a esa recta. Así que esta circunferencia toca el eje $x$ en el punto que queda justo debajo del centro, $(2, 0)$.

El álgebra coincide

El eje $x$ es $y = 0$ y, al sustituir, queda $(x - 2)^2 = 0$, cuya solución es una raíz doble: exactamente un punto común. Por distancias o por ecuaciones, ambos caminos llegan a la misma tangencia.

El punto de contacto queda justo debajo del centro porque la tangente es perpendicular al radio en ese punto. Un radio perpendicular al eje $x$ apunta hacia abajo, de modo que bajar el radio desde el centro aterriza en el punto de tangencia.

Tangente a los dos ejes

Como esta circunferencia tiene abscisa del centro $2$ y radio $2$, también es tangente al eje $y$: al sustituir $x = 0$ queda $(y - 2)^2 = 0$, así que lo toca en $(0, 2)$.

Una circunferencia tangente a los dos ejes coordenados tiene el centro en $(\pm r, \pm r)$, es decir, sobre la recta $y = x$ o sobre $y = -x$. En el primer cuadrante esa circunferencia es $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ y, al crecer $r$, su centro se desliza a lo largo de $y = x$ mientras la circunferencia sigue encajada en el rincón.

Al tocar los dos ejes, esta circunferencia queda entera dentro del primer cuadrante: tanto $x$ como $y$ se mantienen entre $0$ y $4$ y no se vuelven negativos nunca. Las circunferencias apretadas contra un rincón así aparecen siempre que se trata de circunferencias inscritas o del empaquetado de tubos.

La misma regla para cualquier recta

Léase la condición como distancia del centro igual al radio y valdrá para cualquier recta, no solo para los ejes.

Los puntos grandes señalan el punto de tangencia y el centro.