Circunferencia circunscrita de un triángulo

Una circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo es su circunferencia circunscrita, y su centro es el circuncentro¹. Los hallamos para el triángulo de vértices $A(-4, 0)$ , $B(4, 0)$ y $C(0, 4)$ .

Cómo se construye el circuncentro

El circuncentro es la intersección de las mediatrices de los tres lados. Un punto de la mediatriz de un lado equidista de sus dos extremos. La intersección de dos de ellas equidista, por tanto, de los tres vértices, y la tercera ha de pasar también por ella.

Lado	Punto medio	Mediatriz
$AB$	$(0, 0)$	$x = 0$
$AC$	$(-2, 2)$	$y = -x$

Las dos se encuentran en $(0, 0)$ , que es el circuncentro. El radio es su distancia a un vértice, $R = 4$ , y la circunferencia circunscrita es $x^2 + y^2 = 16$ . Sustituir cada uno de los tres vértices da $16$ todas las veces, lo que confirma que están sobre una misma circunferencia.

Es un triángulo rectángulo

Como $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-4)(4) + (-4)(-4) = 0$ , el ángulo recto está en $C$ . En un triángulo rectángulo el circuncentro cae en el punto medio de la hipotenusa y el radio es su mitad. Recíprocamente, el ángulo que subtiende un diámetro desde un punto de la circunferencia es siempre recto: ese es el teorema de Tales².

Comprobar el radio de otra manera

El teorema del seno también lo da. Aquí $a = BC = 4\sqrt{2}$ y $\angle A = 45^\circ$ .

\frac{a}{\sin A} = \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8 = 2R

La fórmula con los lados y el área concuerda. Con $b = CA = 4\sqrt{2}$ , $c = AB = 8$ y $S = 16$ resulta lo siguiente.

R = \frac{abc}{4S} = \frac{4\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} \times 8}{4 \times 16} = \frac{256}{64} = 4

Método	Fórmula	Resultado
Distancia a un vértice	$\sqrt{0^2 + 4^2}$	$4$
Teorema del seno	$\dfrac{a}{2\sin A}$	$4$
Lados y área	$\dfrac{abc}{4S}$	$4$

Cuándo no existe circunferencia circunscrita

Si los tres puntos están sobre una misma recta no hay circunferencia circunscrita: dos de las mediatrices se vuelven paralelas y no se cortan nunca. Mientras el triángulo sea de verdad un triángulo, su circunferencia circunscrita queda determinada de forma única.

Dónde queda el circuncentro

Forma del triángulo	Posición del circuncentro
Acutángulo	dentro
Rectángulo	el punto medio de la hipotenusa
Obtusángulo	fuera

El incentro está siempre dentro, pero el circuncentro no.

Las tres rectas de la gráfica son los tres lados, los dos arcos son la circunferencia circunscrita, y los puntos grandes son los tres vértices junto con el circuncentro $(0, 0)$ .

Circumcircle, Wikipedia
Thales's theorem, Wikipedia