Gráfica de la función suelo $y = \lfloor x \rfloor$

$y = \lfloor x \rfloor$ devuelve el mayor entero que no supera a $x$¹. Se llama función suelo, y la imagen más fácil es la del primer entero que uno encuentra mirando hacia la izquierda desde $x$ a lo largo de la recta numérica.

Dominio y rango

El dominio es el conjunto de todos los números reales. El valor que devuelve es siempre un entero, así que el rango es el conjunto de los números enteros, una colección discreta y no una recta continua. Solo se alcanzan alturas enteras.

Forma de la gráfica

La gráfica es una escalera. Cada peldaño es un segmento horizontal de longitud $1$, y el valor salta hacia arriba en $1$ en cada entero.

Cada peldaño incluye su extremo izquierdo y excluye el derecho. En $1 \leq x < 2$ el valor es siempre $1$ y, en cuanto $x$ llega a $2$, salta a $2$.

Puntos de discontinuidad

La función es discontinua en todos los enteros. Al acercarse a un entero $n$ por la derecha el límite es $n$, mientras que por la izquierda es $n - 1$, y los dos no coinciden. El tamaño del salto es siempre $1$.

En los puntos no enteros el valor es constante en los alrededores, así que la función es derivable allí con derivada $0$. Está hecha únicamente de peldaños planos de pendiente $0$ y de saltos repentinos.

Monotonía

El valor no disminuye nunca al aumentar $x$, así que la función es no decreciente. No es estrictamente creciente, sin embargo, porque el valor se queda quieto a lo largo de cada peldaño.

Una advertencia con los números negativos

Nótese que $\lfloor -1.2 \rfloor = -2$, y no $-1$. La función suelo no descarta la parte fraccionaria; redondea siempre hacia $-\infty$. Eso se diferencia de la división entera de muchos lenguajes de programación, que redondea hacia $0$, así que los números negativos merecen cuidado.

Relación con otras funciones

• La función techo $\lceil x \rceil$, que devuelve el menor entero que es al menos $x$, es su contrapartida
• La diferencia $x - \lfloor x \rfloor$ es la parte fraccionaria, una onda de diente de sierra de período $1$
• El redondeo al entero más próximo puede escribirse $\lfloor x + 0.5 \rfloor$

Aplicaciones

El número de cifras de un entero positivo $N$ se halla con la función suelo.

El cociente de una división entera $\left\lfloor \dfrac{a}{b} \right\rfloor$, el cálculo de índices de un vector y la paginación de una lista la usan: allí donde hay que cortar en escalones una magnitud continua.

1. Floor and ceiling functions, Wikipedia