Sumas de Riemann

Una integral definida se define como el límite de una suma de áreas de rectángulos estrechos1. Lo confirmamos para f(x)=x2f(x) = x^2 de 00 a 22.

La suma con los extremos izquierdos

Cortemos el intervalo en ocho trozos iguales de anchura 14\dfrac{1}{4} y levantemos un rectángulo sobre cada uno, tomando como altura el valor en el extremo izquierdo.

14∑k=07(k4)2=164(0+1+4+9+16+25+36+49)=3516\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{7} \left( \frac{k}{4} \right)^2 = \frac{1}{64} (0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49) = \frac{35}{16}

Eso es 3516=2.1875\dfrac{35}{16} = 2.1875, menor que el valor verdadero 83≈2.6667\dfrac{8}{3} \approx 2.6667. Usar la altura del extremo izquierdo subestima una función creciente.

Atrapar el valor entre la izquierda y la derecha

ConstrucciónValorRelación con el valor verdadero
Extremos izquierdos3516=2.1875\dfrac{35}{16} = 2.1875menor
El valor verdadero83≈2.6667\dfrac{8}{3} \approx 2.6667la referencia
Extremos derechos5116=3.1875\dfrac{51}{16} = 3.1875mayor

La separación entre los dos es 11, que es la diferencia de las alturas de los extremos f(2)−f(0)=4f(2) - f(0) = 4 multiplicada por la anchura 14\dfrac{1}{4}. El valor verdadero queda siempre entre ambos.

Afinar la partición

La suma con extremos izquierdos para nn trozos sale así.

2n∑k=0n−1(2kn)2=8n3⋅(n−1)n(2n−1)6⟶83(n→∞)\begin{align*} \frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{2k}{n} \right)^2 &= \frac{8}{n^3} \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} \\ &\longrightarrow \frac{8}{3} \quad (n \to \infty) \end{align*}

Ese límite es el valor de la integral definida.

La forma general

Cortando [a,b][a, b] en nn trozos iguales de anchura Δx=b−an\Delta x = \dfrac{b - a}{n}, el límite de la suma es la integral definida.

∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑k=0n−1f(a+kΔx) Δx\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n-1} f(a + k \Delta x) \, \Delta x

Parece un cálculo de área, pero en realidad es un límite de sumas. Por eso toda magnitud de la forma multiplicar y sumar puede escribirse como una integral definida.

  • La distancia a partir de la velocidad
  • La masa a partir de la densidad
  • Un total a partir de un precio unitario

La parábola de la gráfica es y=x2y = x^2, la escalera son las tapas de los rectángulos de anchura 14\dfrac{1}{4}, y los puntos grandes son los dos extremos del intervalo.

  1. Riemann sum, Wikipedia