Gráfica de la función $y = \arctan\dfrac{1}{x}$

$y = \arctan\dfrac{1}{x}$ es el arcotangente aplicado a una función recíproca. Sus valores se mantienen entre $-\dfrac{\pi}{2}$ y $\dfrac{\pi}{2}$ y, aun así, salta $\pi$ en el origen, lo que da lugar a un comportamiento especialmente instructivo.

Dominio y rango

El dominio es $x \neq 0$. Como $\dfrac{1}{x}$ no vale nunca $0$, tampoco lo hace $\arctan\dfrac{1}{x}$, así que la rama con $x > 0$ queda en $\left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right)$ y la rama con $x < 0$ en $\left( -\dfrac{\pi}{2}, 0 \right)$.

El salto del origen

Los dos límites laterales existen pero no coinciden, así que se trata de una discontinuidad de salto, de tamaño exactamente $\pi$. Ningún valor asignado en $x = 0$ podría hacer continua la función.

Como los valores se mantienen acotados, el eje $y$ no es una asíntota vertical. La diferencia entre una discontinuidad en la que la función se dispara y otra en la que solo salta se ve aquí con claridad¹.

Simetría y asíntota

De $f(-x) = -f(x)$ se sigue que la función es impar, con simetría de rotación respecto del origen. Cuando $x \to \pm\infty$ se tiene $\dfrac{1}{x} \to 0$ y por tanto $y \to 0$, lo que hace del eje $x$ una asíntota horizontal, a la que se acerca por arriba a la derecha y por abajo a la izquierda.

Monotonía

La regla de la cadena da una derivada que se simplifica limpiamente.

El segundo miembro simplificado admite $x = 0$ y toma allí el valor $-1$. La función salta y, sin embargo, la fórmula de su derivada parece atravesar el origen sin sobresaltos. Las dos ramas llegan al origen con pendiente $-1$ y están sencillamente desplazadas una de otra en $\pi$.

Relación con el arcotangente

Como esta derivada es exactamente la opuesta de $\dfrac{1}{1+x^2}$, la derivada de $\arctan x$, la suma $\arctan x + \arctan\dfrac{1}{x}$ es constante en cada rama. Evaluar en un punto de cada una da lo siguiente.

Esta gráfica es, por tanto, la curva continua $\arctan x$ puesta del revés y desplazada $\dfrac{\pi}{2}$ hacia arriba a la derecha y $\dfrac{\pi}{2}$ hacia abajo a la izquierda. Los dos desplazamientos difieren en $\pi$, y esa diferencia es precisamente el salto del origen.

Concavidad

La segunda derivada es $y'' = \dfrac{2x}{(1+x^2)^2}$, positiva para $x > 0$ y negativa para $x < 0$, así que la rama derecha es cóncava hacia arriba y la izquierda, cóncava hacia abajo. El signo cambia en $x = 0$, que queda fuera del dominio, de modo que no hay punto de inflexión.

Dos convenios para la arcocotangente

Hay dos definiciones en competencia de $\operatorname{arccot}$.

El segundo es esta gráfica. Se diferencia del primero en $\pi$ para $x < 0$, así que siempre conviene comprobar qué convenio ha adoptado un libro de texto o un sistema de álgebra computacional.

Aplicaciones

Cuando un programa recupera un ángulo a partir de unas coordenadas, usar $\arctan\dfrac{y}{x}$ por sí solo no permite distinguir el primer cuadrante del tercero, ni el segundo del cuarto. Por eso casi todos los lenguajes ofrecen una función aparte de dos argumentos, atan2, que evita esta discontinuidad y devuelve todo el rango $(-\pi, \pi]$². Esta gráfica hace visible de un vistazo esa necesidad.

1. Classification of discontinuities, Wikipedia
2. atan2, Wikipedia