y=arccsc⁡xy = \operatorname{arccsc} x

La arcocosecante y=arccsc⁡xy = \operatorname{arccsc} x

arccsc⁡x\operatorname{arccsc} x, la cosecante inversa o arcocosecante, invierte csc⁡x=1sin⁡x\csc x = \dfrac{1}{\sin x}1. La elección habitual de rango es [−π2,π2]\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right], la misma que para arcsin⁡\arcsin, y hace pareja con la arcosecante.

Definición y forma cerrada

La ecuación csc⁡y=x\csc y = x es la misma que sin⁡y=1x\sin y = \dfrac{1}{x}, así que la función puede escribirse en forma cerrada.

arccsc⁡x=arcsin⁡1x\operatorname{arccsc} x = \arcsin\frac{1}{x}

Como arcsin⁡\arcsin está definida en [−1,1][-1, 1], el dominio aquí es ∣x∣≥1|x| \geq 1.

Dominio y rango

  • El dominio es x≤−1x \leq -1 o x≥1x \geq 1
  • El rango es [−π2,π2]\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right] quitando el 00
  • En x=1x = 1 el valor es π2\dfrac{\pi}{2}, y en x=−1x = -1 es −π2-\dfrac{\pi}{2}

Alcanzar el 00 exigiría 1x=0\dfrac{1}{x} = 0, así que ese valor queda fuera de alcance.

Simetría y asíntota

Tanto arcsin⁡\arcsin como 1x\dfrac{1}{x} son impares, así que su composición es impar y la gráfica tiene simetría de rotación respecto del origen, aunque el propio origen quede fuera del dominio.

Cuando x→±∞x \to \pm\infty resulta y→0y \to 0, lo que hace del eje xx una asíntota horizontal, a la que se acerca por arriba a la derecha y por abajo a la izquierda. Como el 00 no se alcanza nunca, las dos ramas corren junto al eje sin encontrarse jamás con él.

Valores destacados

xx1x\dfrac{1}{x}arccsc⁡x\operatorname{arccsc} x
−1-1−1-1−π2-\dfrac{\pi}{2}
−2-2−12-\dfrac{1}{2}−π6-\dfrac{\pi}{6}
1111π2\dfrac{\pi}{2}
2\sqrt{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}π4\dfrac{\pi}{4}
2212\dfrac{1}{2}π6\dfrac{\pi}{6}

Monotonía y tangentes

La derivada es la siguiente.

ddxarccsc⁡x=−1∣x∣x2−1\frac{d}{dx}\operatorname{arccsc} x = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}

Es negativa en todo el dominio, así que la función decrece en las dos ramas. Se diferencia de la derivada de arcsec⁡\operatorname{arcsec} solo en el signo, heredado directamente de la relación entre arccos⁡\arccos y arcsin⁡\arcsin. Cuando ∣x∣→1|x| \to 1 la derivada diverge, de modo que las tangentes en los extremos (1,π2)\left( 1, \dfrac{\pi}{2} \right) y (−1,−π2)\left( -1, -\dfrac{\pi}{2} \right) son verticales.

Relación con la arcosecante

arcsec⁡x+arccsc⁡x=π2\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}

Esto es arccos⁡u+arcsin⁡u=π2\arccos u + \arcsin u = \dfrac{\pi}{2} con u=1xu = \dfrac{1}{x}. Donde arcsec⁡\operatorname{arcsec} sube hacia π2\dfrac{\pi}{2} desde abajo, esta cae hacia 00 desde arriba, y las dos gráficas son reflejos una de la otra respecto de la recta y=π4y = \dfrac{\pi}{4}.

La familia completa

Con esta quedan completas las seis funciones trigonométricas inversas. El rango de cada función trigonométrica pasa tal cual a ser el dominio de su inversa.

FunciónDominioRango
arcsin⁡x\arcsin x[−1,1][-1, 1][−π2,π2]\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right]
arccos⁡x\arccos x[−1,1][-1, 1][0,π][0, \pi]
arctan⁡x\arctan xtodos los números reales(−π2,π2)\left( -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right)
arccot⁡x\operatorname{arccot} xtodos los números reales(0,π)(0, \pi)
arcsec⁡x\operatorname{arcsec} x∣x∣≥1|x| \geq 1[0,π][0, \pi] sin π2\dfrac{\pi}{2}
arccsc⁡x\operatorname{arccsc} x∣x∣≥1|x| \geq 1[−π2,π2]\left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right] sin el 00

De todas ellas, solo arccot⁡\operatorname{arccot} tiene un valor principal realmente discutido; las otras cinco están fijadas por un acuerdo amplio.

  1. Inverse trigonometric functions, Wikipedia