El método de Newton

Seguir tangentes para hallar numéricamente la solución de una ecuación es el método de Newton¹. Lo usamos para hallar la raíz positiva de $f(x) = x^2 - 2$ , es decir, $\sqrt{2}$ .

Seguir las tangentes

Partimos de $x_0 = 2$ . Como $f(2) = 2$ y $f'(2) = 4$ , la tangente en $(2, 2)$ es $y = 4x - 6$ . Corta el eje $x$ en $x = 1.5$ , y ese pasa a ser el valor siguiente $x_1$ .

Repetimos. Como $f(1.5) = 0.25$ y $f'(1.5) = 3$ , la tangente es $y = 3x - \dfrac{17}{4}$ , que corta el eje $x$ en $x_2 = \dfrac{17}{12} = 1.41667$ .

La fórmula general

Se busca dónde corta al eje $x$ la tangente $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$ .

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Para $f(x) = x^2 - 2$ esto se ordena así.

\begin{align*} x_{n+1} &= x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} \\ &= \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right) \end{align*}

Toma la media del valor actual y de $\dfrac{2}{x_n}$ . Si $x_n$ es mayor que $\sqrt{2}$ , entonces $\dfrac{2}{x_n}$ es menor, así que la media cae siempre entre los dos.

Lo deprisa que converge

$n$	$x_n$	Error
$0$	$2$	$0.586$
$1$	$1.5$	$0.086$
$2$	$1.416667$	$0.0025$
$3$	$1.414216$	$0.000002$

Frente a $\sqrt{2} = 1.414214$ , el número de cifras correctas se duplica más o menos a cada paso.

Cuándo falla

Si $f'(x_n) = 0$ la tangente es horizontal y el valor siguiente queda indefinido
Si el valor de partida está lejos de una raíz, la iteración puede saltar a otra distinta
Los valores pueden también oscilar y no asentarse nunca

Qué es en realidad el método

Que una tangente sea la aproximación lineal de una curva es la sustancia del método. Se sustituye la curva por una recta y se resuelve y, en la respuesta obtenida, se vuelve a hacer la sustitución. Eso es todo lo que repite.

La parábola de la gráfica es $y = x^2 - 2$ , las dos rectas son las tangentes en $x_0 = 2$ y en $x_1 = 1.5$ , y los puntos grandes son los puntos de tangencia junto con los puntos en los que las tangentes cortan al eje $x$ .

Newton's method, Wikipedia