y=Φ(x)=12(1+erf⁡x2)y = \Phi(x) = \dfrac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)

Gráfica de la función de distribución normal estándar y=Φ(x)y = \Phi(x)

y=Φ(x)y = \Phi(x) es la función de distribución de la normal estándar1. Da la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar valga a lo sumo xx.

Φ(x)=∫−∞x12πe−t2/2 dt\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}\,dt

Escrita con la función error erf⁡\operatorname{erf} toma además la forma siguiente.

Φ(x)=12(1+erf⁡x2)\Phi(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \operatorname{erf}\frac{x}{\sqrt{2}}\right)

El 2\sqrt{2} aparece por una diferencia entre las definiciones: erf⁡\operatorname{erf} usa e−t2e^{-t^2} mientras que la distribución normal usa e−t2/2e^{-t^2/2}.

Dominio y rango

  • El dominio es el conjunto de todos los números reales
  • El rango es el intervalo abierto (0,1)(0, 1)
  • Crece de forma monótona
  • Las rectas y=0y = 0 e y=1y = 1 son asíntotas horizontales

Al ser una probabilidad se mantiene entre 00 y 11 y no alcanza ninguno de los dos.

Simetría

Como la densidad de la normal estándar es par, se cumple Φ(−x)=1−Φ(x)\Phi(-x) = 1 - \Phi(x). La gráfica tiene, por tanto, simetría central respecto de (0,12)\left( 0, \dfrac{1}{2} \right).

Monotonía y concavidad

La derivada es la propia densidad.

φ(x)=12πe−x2/2\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}

Es siempre positiva, así que la función crece de forma monótona y no tiene extremos. La pendiente es máxima en el origen, donde vale 12π≈0.399\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx 0.399. La segunda derivada es −xφ(x)-x\varphi(x), cuyo signo cambia en x=0x = 0, así que (0,12)\left( 0, \dfrac{1}{2} \right) es el único punto de inflexión.

No se expresa con funciones elementales

No existe ninguna primitiva de e−t2/2e^{-t^2/2} entre las funciones elementales. Por eso Φ\Phi recibe un símbolo propio, con tablas impresas en otro tiempo y rutinas numéricas ahora. Escribirla con erf⁡\operatorname{erf} tampoco la reduce a funciones elementales; se limita a reformularla mediante otra función especial.

Valores que conviene recordar

xxΦ(x)\Phi(x)Probabilidad del intervalo correspondiente
11≈0.8413\approx 0.841368.27%68.27\%
1.6451.645≈0.9500\approx 0.9500el valor crítico unilateral del 5%5\%
1.9601.960≈0.9750\approx 0.9750el intervalo de confianza bilateral del 95%95\%
22≈0.9772\approx 0.977295.45%95.45\%
33≈0.99865\approx 0.9986599.73%99.73\%

La última columna, leída junto con la simetría, da la probabilidad de caer dentro de tantas desviaciones típicas de la media: la conocida regla 6868–9595–99.799.72.

Comparación con la función logística

La función logística 11+e−x\dfrac{1}{1 + e^{-x}} dibuja una S parecida. Igualando las pendientes al escribir 11+e−1.702x\dfrac{1}{1 + e^{-1.702x}}, su mayor diferencia con Φ(x)\Phi(x) es de solo unos 0.00950.0095, y las gráficas casi coinciden. Esa coincidencia es la razón de que la regresión probit y la regresión logística den resultados tan parecidos en estadística.

Aplicaciones

Por el teorema central del límite, la distribución de una suma de variables aleatorias independientes se acerca a la normal en condiciones adecuadas, así que Φ\Phi aparece por toda la estadística.

  • El cálculo de un valor pp
  • La construcción de un intervalo de confianza
  • Los límites de control del control de calidad

Su inversa Φ−1\Phi^{-1} se llama probit y se usa como función de enlace que estira una probabilidad hasta cubrir toda la recta real.

  1. Normal distribution, Wikipedia
  2. 68-95-99.7 rule, Wikipedia