Inecuaciones de segundo grado

Una inecuación de segundo grado se resuelve mirando dónde queda la gráfica de una función cuadrática por encima o por debajo del eje $x$ ¹. Resolvamos $x^2 - x - 6 > 0$ .

Hallar las fronteras

En la igualdad, $x^2 - x - 6 = 0$ da $(x - 3)(x + 2) = 0$ , de modo que $x = 3$ y $x = -2$ . Ahí es donde la parábola se encuentra con el eje $x$ , y esos valores parten la recta numérica en tres tramos.

Inecuación	Dónde está la gráfica	Solución
$x^2 - x - 6 > 0$	por encima del eje $x$	$x < -2$ o $x > 3$
$x^2 - x - 6 < 0$	por debajo del eje $x$	$-2 < x < 3$

Como esta parábola se abre hacia arriba, queda por encima del eje fuera de los dos puntos de corte y por debajo entre ellos.

Solo con los factores

La misma conclusión se obtiene sin dibujo. El producto $(x - 3)(x + 2)$ es positivo exactamente cuando los dos factores tienen el mismo signo: ambos positivos da $x > 3$ , ambos negativos da $x < -2$ . El producto es negativo cuando los signos no coinciden, lo que ocurre entre las raíces. Con la gráfica o con los factores, la respuesta es la misma.

Coeficiente principal negativo

Una parábola abierta hacia abajo intercambia el encima y el debajo, así que una inecuación como $-x^2 + x + 6 > 0$ se trata mejor multiplicando todo por $-1$ para llegar a $x^2 - x - 6 < 0$ , sin olvidar que multiplicar por un número negativo invierte el sentido de la desigualdad.

Cuando el discriminante no es positivo

Caso	$> 0$ se cumple para	$< 0$ se cumple para
$D = 0$ , abierta hacia arriba	todo $x$ salvo un punto	ningún $x$
$D < 0$ , abierta hacia arriba	todo número real	ningún $x$

Sin cortes, las respuestas se vuelven extremas.

Una aplicación

Supongamos que un objeto lanzado hacia arriba tiene altura $h = -5t^2 + 20t$ , con $h$ en metros y $t$ en segundos, y que se quiere saber durante qué intervalo de tiempo está al menos a $15$ metros de altura.

\begin{align*} -5t^2 + 20t &\geq 15 \\ t^2 - 4t + 3 &\leq 0 \\ (t - 1)(t - 3) &\leq 0 \end{align*}

Por tanto, $1 \leq t \leq 3$ . Desde un segundo después del lanzamiento hasta tres segundos después, el objeto está a $15$ metros o más. Obsérvese que dividir entre $-5$ invirtió la desigualdad.

Para una parábola abierta hacia arriba conviene recordar: mayor que $0$ significa fuera de las dos raíces, y menor que $0$ , entre ellas. Los puntos grandes de la gráfica son las fronteras.

Quadratic equation, Wikipedia