y=arcsec⁡xy = \operatorname{arcsec} x

La arcosecante y=arcsec⁡xy = \operatorname{arcsec} x

arcsec⁡x\operatorname{arcsec} x, la secante inversa o arcosecante, invierte sec⁡x=1cos⁡x\sec x = \dfrac{1}{\cos x}1. Como sec⁡\sec es periódica, hay que elegir un rango antes de que exista inversa, y la elección habitual es [0,π][0, \pi], la misma que para arccos⁡\arccos.

Definición y forma cerrada

La ecuación sec⁡y=x\sec y = x es la misma que cos⁡y=1x\cos y = \dfrac{1}{x}, así que la función puede escribirse en forma cerrada.

arcsec⁡x=arccos⁡1x\operatorname{arcsec} x = \arccos\frac{1}{x}

Como arccos⁡\arccos está definida en [−1,1][-1, 1], hace falta ∣1x∣≤1\left|\dfrac{1}{x}\right| \leq 1, es decir, ∣x∣≥1|x| \geq 1.

Dominio y rango

  • El dominio es x≤−1x \leq -1 o x≥1x \geq 1
  • El rango es [0,π][0, \pi] quitando π2\dfrac{\pi}{2}
  • En x=1x = 1 el valor es 00, y en x=−1x = -1 es π\pi

No hay curva en −1<x<1-1 < x < 1, lo que refleja que ∣sec⁡y∣≥1|\sec y| \geq 1 siempre. Alcanzar π2\dfrac{\pi}{2} exigiría 1x=0\dfrac{1}{x} = 0, así que ese valor también queda fuera de alcance.

Asíntota

Tanto cuando x→+∞x \to +\infty como cuando x→−∞x \to -\infty se tiene 1x→0\dfrac{1}{x} \to 0 y por tanto y→π2y \to \dfrac{\pi}{2}, de modo que la recta y=π2y = \dfrac{\pi}{2} es una asíntota horizontal. La rama derecha se le acerca por debajo y la izquierda por arriba, así que las dos ramas la encierran. Como el valor π2\dfrac{\pi}{2} no se alcanza nunca, la asíntota es una frontera en sentido literal.

Valores destacados

xx1x\dfrac{1}{x}arcsec⁡x\operatorname{arcsec} x
−1-1−1-1π\pi
−2-2−12-\dfrac{1}{2}2π3\dfrac{2\pi}{3}
111100
2\sqrt{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}π4\dfrac{\pi}{4}
2212\dfrac{1}{2}π3\dfrac{\pi}{3}

Monotonía y tangentes

La derivada es la siguiente.

ddxarcsec⁡x=1∣x∣x2−1\frac{d}{dx}\operatorname{arcsec} x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^{2}-1}}

Es positiva en todo el dominio, así que la función crece en las dos ramas. Cuando ∣x∣→1|x| \to 1 el factor x2−1\sqrt{x^{2}-1} tiende a 00 y la derivada diverge, de modo que las tangentes en los extremos (1,0)(1, 0) y (−1,π)(-1, \pi) son verticales. La curva se yergue en sus extremos y se tumba a lo largo de la asíntota a lo lejos.

Sin discontinuidad

Como el dominio excluye −1<x<1-1 < x < 1, esta función no tiene saltos ni oscilación. Cada rama es continua y sus rangos no se solapan. También ella es una inversa tomada a través de una recíproca, pero se libra del problema que surge con arccot⁡\operatorname{arccot}, cuyo dominio cabalga sobre el origen y donde la elección del valor principal se vuelve una cuestión de verdad.

Relación con la arcocosecante

arcsec⁡x+arccsc⁡x=π2\operatorname{arcsec} x + \operatorname{arccsc} x = \frac{\pi}{2}

Esto no es más que arccos⁡u+arcsin⁡u=π2\arccos u + \arcsin u = \dfrac{\pi}{2} con u=1xu = \dfrac{1}{x}. Las dos gráficas son, por tanto, reflejos una de la otra respecto de la recta y=π4y = \dfrac{\pi}{4}.

  1. Inverse trigonometric functions, Wikipedia