La mitad superior de una hipérbola $y = \sqrt{x^2-1}$

$y = \sqrt{x^2 - 1}$ es la mitad superior de la hipérbola equilátera $x^2 - y^2 = 1$¹. Mientras que la ya vista $y = \sqrt{x^2+1}$ es una curva conexa de una sola pieza, cambiar un signo dentro del radical parte esta en dos ramas separadas.

Dominio y rango

• El dominio es $x \leq -1$ o $x \geq 1$
• El rango es $y \geq 0$
• Es una función par
• En $-1 < x < 1$ no hay curva alguna

Los elementos de la hipérbola

Junto con la mitad inferior, la curva completa es simétrica respecto del eje $x$ y también respecto del origen.

Asíntotas

Como $\sqrt{x^2-1} - x = \dfrac{-1}{\sqrt{x^2-1} + x}$ tiende a $0$ cuando $x \to +\infty$, la recta $y = x$ es una asíntota y, en la rama izquierda, la asíntota es $y = -x$. Esas dos rectas son perpendiculares, y por eso la curva se llama hipérbola equilátera.

Tangentes y concavidad

La derivada es $y' = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$, que diverge a $+\infty$ cuando $x \to 1^{+}$, así que la tangente en el vértice es vertical. La segunda derivada $y'' = -\dfrac{1}{(x^2-1)^{3/2}}$ es siempre negativa, de modo que las dos ramas son cóncavas hacia abajo.

Las dos curvas comparten asíntotas, pero se curvan en sentidos opuestos.

Función inversa

Al despejar $x$ en la rama $x \geq 1$ se obtiene $x = \sqrt{y^2+1}$. Esa rama y la parte de $y = \sqrt{x^2+1}$ con $x \geq 0$ son, por tanto, inversas una de la otra, y las dos gráficas son reflejos una de la otra respecto de la recta $y = x$.

Relación con las funciones hiperbólicas

Poniendo $x = \cosh t$ e $y = \sinh t$ se cumple $\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1$, así que el punto está siempre sobre la hipérbola. La rama derecha es exactamente el lugar que se recorre cuando $t$ toma todos los valores reales, y la mitad superior corresponde a $t \geq 0$. Esta parametrización es justamente la razón de que estas funciones se llamen hiperbólicas.

Además, el sector hiperbólico determinado por el origen, $(1, 0)$ y $(\cosh t, \sinh t)$ tiene área exactamente $\dfrac{t}{2}$, en correspondencia con el hecho de que el ángulo en la circunferencia unidad es el doble del área del sector circular correspondiente.

Aplicaciones

Una hipérbola es el lugar de los puntos cuyas distancias a dos puntos fijos difieren en una cantidad constante.

• La navegación hiperbólica, que fija una posición a partir de la diferencia de tiempos de llegada de dos señales²
• La línea de universo de un objeto con aceleración propia constante
• Girar la curva alrededor del eje $x$ da el hiperboloide de dos hojas

1. Hyperbola, Wikipedia
2. Hyperbolic navigation, Wikipedia