Triángulo limitado por tres rectas

Hallamos el triángulo limitado por las tres rectas $y = x$, $y = -x + 4$ e $y = 0$.

Hallar los vértices

Cada vértice sale de resolver un par de las rectas a la vez. Hay tres maneras de elegir dos rectas de entre tres, y esas dan los tres vértices.

Área

Tomando la base sobre el eje $x$ resulta una longitud de $4$, y la altura es la coordenada $y$ del vértice $(2, 2)$, que vale $2$, así que el área es $\dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$. La fórmula del área con coordenadas lo confirma.

Es un triángulo rectángulo isósceles

Este no es un triángulo cualquiera. La recta $y = x$ tiene pendiente $1$ e $y = -x + 4$ tiene pendiente $-1$, y el producto es $-1$. Las dos rectas se cortan, por tanto, en ángulo recto, y el vértice $(2, 2)$ es el ángulo recto.

Además, la distancia de $(0, 0)$ a $(2, 2)$ y la de $(4, 0)$ a $(2, 2)$ valen ambas $\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$, así que el triángulo es rectángulo isósceles. Calcular el área como $\dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 4$ da otra vez el mismo valor.

Cuándo no se forma triángulo

Tres rectas no siempre limitan un triángulo.

• No puede haber dos paralelas entre ellas
• Las tres no deben pasar por un mismo punto

Solo cuando se cumplen las dos condiciones hay triángulo. Si dos rectas son paralelas, ese par no aporta vértice. Si las tres comparten un punto, los tres vértices se desploman sobre él y el triángulo degenera.

Sustituir $y = 0$ por $y = 2$, por ejemplo, hace que las tres rectas pasen por $(2, 2)$, y no se encierra nada. Los puntos grandes de la gráfica son los tres vértices.