La regla del producto

Una función en forma de producto no se deriva derivando cada factor y multiplicando¹. Lo comprobamos con $f(x) = xe^{-x}$ .

La fórmula

(uv)' = u'v + uv'

Tomar $u = x$ y $v = e^{-x}$ da $u' = 1$ y $v' = -e^{-x}$ , así que la derivada es la siguiente.

f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = (1 - x)e^{-x}

Nótese que esto no es lo mismo que $u'v' = -e^{-x}$ .

Monotonía

Como $e^{-x} > 0$ , el signo lo decide únicamente $1 - x$ .

Intervalo	$f'$	Comportamiento
$x < 1$	positiva	creciente
$x > 1$	negativa	decreciente

En $x = 1$ la función tiene su máximo local $f(1) = \dfrac{1}{e} \approx 0.368$ .

Comportamiento a lo lejos

Cuando $x \to \infty$ el decaimiento de $e^{-x}$ vence al crecimiento de $x$ , así que $f \to 0$ . Cuando $x \to -\infty$ el factor $x$ es negativo y $e^{-x}$ es grande, así que $f \to -\infty$ .

Derivar una vez más

La misma fórmula da la segunda derivada.

f''(x) = -e^{-x} - (1 - x)e^{-x} = (x - 2)e^{-x}

El signo cambia en $x = 2$ , así que el punto de inflexión es $\left( 2, \dfrac{2}{e^2} \right)$ , numéricamente $(2, 0.271)$ .

$x$	$f(x)$	Posición
$0$	$0$	pasa por el origen
$1$	$\dfrac{1}{e} \approx 0.368$	máximo local
$2$	$\dfrac{2}{e^2} \approx 0.271$	punto de inflexión

Por qué vale la fórmula

El área de un rectángulo lo hace visible. Para un rectángulo de lados $u$ y $v$ , aumentar $u$ en $\Delta u$ y $v$ en $\Delta v$ aumenta el área en lo siguiente.

u\Delta v + v\Delta u + \Delta u \Delta v

El último término es un producto de dos cantidades pequeñas, así que dividir entre $\Delta x$ y hacerlo tender a $0$ lo desvanece. Lo que queda es $u'v + uv'$ .

Aplicaciones

Funciones de esta forma aparecen allí donde una magnitud crece mientras decae. La expresión $xe^{-x}$ se usa como distribución de tiempos de espera, y la posición $x = 1$ de su cima es el valor más probable.

La curva con loma de la gráfica es $y = xe^{-x}$ , la curva que la cruza es la derivada, y los puntos grandes son el máximo local y el origen.

Product rule, Wikipedia