Puntos de división interior y exterior

Buscamos los puntos que dividen un segmento en una razón dada. Consideremos el segmento que une $A(1, 1)$ y $B(7, 4)$ .

División interior

Un punto de división interior divide el segmento por dentro, en la razón dada. El punto $P$ con $AP : PB = 2 : 1$ se obtiene mezclando las coordenadas de $A$ y $B$ con pesos $1 : 2$ , donde el extremo más cercano recibe el peso mayor.

P = \left(\frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 7}{2 + 1}, \ \frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 4}{2 + 1}\right) = (5, 3)

En general, el punto que divide interiormente a $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$ en la razón $m : n$ es el siguiente.

\left(\frac{n x_1 + m x_2}{m + n}, \frac{n y_1 + m y_2}{m + n}\right)

Por qué los pesos parecen intercambiados

Pensar en el recorrido de $A$ a $B$ los vuelve naturales. Decir que $AP : PB = 2 : 1$ significa que $P$ está a $\dfrac{2}{3}$ del camino.

\begin{align*} x &= 1 + \frac{2}{3}(7 - 1) = 5 \\ y &= 1 + \frac{2}{3}(4 - 1) = 3 \end{align*}

Cuanto más cerca está el punto de $B$ , más pesan las coordenadas de $B$ , y por eso $B$ lleva el peso mayor.

Tres casos

Razón	Punto	Posición
$1 : 1$ interior	$\left(4, \dfrac{5}{2}\right)$	el punto medio
$2 : 1$ interior	$(5, 3)$	dentro del segmento
$2 : 1$ exterior	$(13, 7)$	más allá de $B$

División exterior

Un punto de división exterior divide sobre la prolongación, fuera del segmento. Dividir en la razón $m : n$ exteriormente se obtiene sustituyendo $n$ por $-n$ .

\left(\frac{-n x_1 + m x_2}{m - n}, \frac{-n y_1 + m y_2}{m - n}\right)

Solo cuando $m = n$ se anula el denominador y no existe punto exterior: dividir $1 : 1$ exteriormente colocaría el punto infinitamente lejos sobre la recta.

Aplicaciones

El baricentro de un triángulo divide cada mediana en la razón $2 : 1$
La interpolación lineal estima un valor entre dos puntos conocidos¹
Las curvas de Bézier se construyen repitiendo divisiones interiores

La recta de la gráfica pasa por $A$ y $B$ , y los puntos grandes son $A$ , $B$ y el punto de división interior en la razón $2 : 1$ .

Linear interpolation, Wikipedia