Intersección de dos funciones cuadráticas

El punto donde se encuentran dos parábolas se halla igual que antes. En una intersección los dos valores de $y$ son iguales, así que igualamos las dos expresiones para formar una ecuación. Aquí miramos cómo la parábola abierta hacia arriba $y = x^2$ se encuentra con la parábola abierta hacia abajo $y = -x^2 + k$.

Un caso resuelto

Al igualar $y = x^2$ con $y = -x^2 + 2$ se obtiene $2x^2 = 2$, es decir, $x^2 = 1$, de donde $x = \pm 1$. Al llevar estos valores a $y = x^2$ resulta $y = 1$, así que los puntos de intersección son $(1, 1)$ y $(-1, 1)$. Cualquiera de las dos parábolas da el mismo $y$, lo que confirma que son puntos comunes a ambas.

Contar las intersecciones

La ecuación $2x^2 - k = 0$ tiene discriminante $D = 8k$, y su signo decide el número.

El caso tangente

Cuando $k = 0$, es decir, $y = x^2$ e $y = -x^2$, obtenemos la raíz doble $x = 0$. Las dos parábolas apenas se tocan en el origen y luego se separan, una hacia arriba y la otra hacia abajo. Este es el caso en que las dos parábolas son tangentes.

El caso sin encuentro

Cuando $k = -2$ obtenemos $x^2 = -1$, que no tiene solución real. El valor de $y = x^2$ es siempre al menos $0$, mientras que el de $y = -x^2 - 2$ es siempre a lo sumo $-2$, así que los dos valores no pueden coincidir nunca: la parábola de arriba se queda arriba y la de abajo, abajo.

Coeficientes principales iguales

Cuando las dos parábolas tienen el mismo coeficiente de $x^2$, por ejemplo $y = x^2$ e $y = x^2 + 3$, los términos en $x^2$ se cancelan y la ecuación se vuelve de primer grado.

En resumen, las intersecciones de dos funciones cuadráticas quedan decididas por el número de soluciones reales de la ecuación que resulta de igualar las expresiones. Los puntos grandes de la gráfica señalan los puntos de intersección y de tangencia.