La gráfica de la derivada y su signo

Superponer la gráfica de la derivada hace legible de un vistazo el crecimiento y el decrecimiento de la función original. Ponemos f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x y f′(x)=3x2−3f'(x) = 3x^2 - 3 una al lado de la otra.

Signo y monotonía

Como f′(x)=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3(x - 1)(x + 1), el signo cambia de la manera siguiente.

Intervalof′(x)f'(x)Comportamiento de ff
x<−1x < -1positivocreciente
−1<x<1-1 < x < 1negativodecreciente
x>1x > 1positivocreciente

Los puntos x=−1x = -1 y x=1x = 1, donde f′f' cruza el eje xx, son aquellos en los que ff tiene sus extremos. El valor f(−1)=2f(-1) = 2 es el máximo local y f(1)=−2f(1) = -2 el mínimo local.

El tamaño del valor es la inclinación

El valor de f′f' es la pendiente de la tangente.

xxf′(x)f'(x)Qué hace la gráfica de ff
−1-100tangente horizontal, un máximo local
00−3-3pendiente −3-3 al pasar por el origen
1100tangente horizontal, un mínimo local
2299se encabrita bruscamente

El mínimo de f′f' cae además en x=0x = 0, que es donde la pendiente de ff es la menor: el punto de inflexión.

Simetría

ff es impar, así que tiene simetría central respecto del origen, y f′f' es par, así que es simétrica respecto del eje yy. La derivación intercambia lo par y lo impar.

Cortes con el eje xx

Factorizar f(x)=x(x2−3)f(x) = x(x^2 - 3) muestra que ff se encuentra con el eje xx en los tres puntos x=0x = 0 y x=±3x = \pm\sqrt{3}. El máximo local es positivo y el mínimo local negativo, así que los tres cortes pueden deducirse también solo de la monotonía.

Derivar una vez más

Se tiene f′′(x)=6xf''(x) = 6x, cuyo signo cambia en x=0x = 0. Que la concavidad de ff se invierta en el origen y que f′f' sea allí mínima son dos maneras de decir lo mismo.

Atención al cambio de signo

Un punto donde f′=0f' = 0 es solo un candidato a extremo. Para f(x)=x3f(x) = x^3 se tiene f′(0)=0f'(0) = 0 y, sin embargo, el signo de f′f' no cambia, así que no es un extremo. Hay que comprobar también el cambio de signo.

La cúbica de la gráfica es y=x3−3xy = x^3 - 3x, la parábola es la derivada y=3x2−3y = 3x^2 - 3, y los puntos grandes son el máximo local (−1,2)(-1, 2) y el mínimo local (1,−2)(1, -2).