Intersección de un logaritmo y una recta

Una intersección de un logaritmo con una recta horizontal equivale a resolver una ecuación logarítmica. Hallamos dónde $y = \ln x$ se encuentra con la recta $y = 1$ .

Volver a la exponencial

En el cruce los valores de $y$ son iguales, así que $\ln x = 1$ . Elevemos $e$ a ambos miembros.

e^{\ln x} = e^{1}

Como $e^x$ y $\ln x$ son inversas, el primer miembro se desploma hasta quedar en $x$ , y queda $x = e$ . La intersección es $(e, 1)$ , con $e \approx 2.718$ .

Resolver una ecuación logarítmica es exactamente este acto de exponenciar. Si $\ln x = k$ entonces $x = e^k$ lo cual, dado que $\ln x$ responde a la pregunta de qué potencia de $e$ da $x$ , es poco más que la definición leída al revés.

Siempre exactamente una intersección

La función $y = \ln x$ solo está definida para $x > 0$ y crece de forma monótona, así que no repite altura y puede cortar una recta horizontal a lo sumo una vez. Y como su rango es el conjunto de todos los números reales, corta la recta $y = k$ en exactamente un punto para todo $k$ . Compárese con la exponencial, cuyo rango se limita a $y > 0$ y que por tanto no alcanza ninguna recta con $k \leq 0$ . Al ser inversas, las dos funciones tienen dominio y rango intercambiados, y eso es lo que se manifiesta aquí.

Dónde quedan los cruces

Recta	Abscisa de la intersección	Valor aproximado
$y = 0$	$e^{0}$	$1$
$y = 1$	$e^{1}$	$2.72$
$y = 2$	$e^{2}$	$7.39$
$y = 3$	$e^{3}$	$20.1$

Cada unidad de altura cuesta un factor $e$ en $x$ . Lo despacio que sube $\ln x$ está escrito con claridad en el espaciado de estas intersecciones.

Relación con la base

La base no cambia el argumento. Si $\log_{10} x = 1$ entonces $x = 10$ ; si $\log_2 x = 1$ entonces $x = 2$ . Dicho de otro modo, el cruce de un logaritmo con la recta $y = 1$ está siempre en el $x$ igual a la propia base. La base de $\ln x$ es $e$ , así que la intersección tenía que ser $(e, 1)$ desde el principio. Cuanto mayor es la base, más a la derecha queda el cruce y más suavemente sube la curva.

Confirmar la simetría

El punto $(e, 1)$ es el reflejo respecto de la recta $y = x$ del punto $(1, e)$ , donde la exponencial $y = e^x$ se encuentra con la recta vertical $x = 1$ . Es una pequeña confirmación de que las gráficas de funciones inversas son imágenes especulares respecto de $y = x$ . El punto grande de la gráfica es la intersección $(e, 1)$ .