y = \dfrac{1}{x^2-1}

La función racional $y = \dfrac{1}{x^2-1}$

$y = \dfrac{1}{x^2 - 1}$ es una función racional cuyo denominador se factoriza como $(x-1)(x+1)$ . Como el denominador se anula en dos puntos, la gráfica queda cortada en tres trozos por dos asíntotas verticales¹.

El contraste con $y = \dfrac{1}{x^2+1}$ , la bruja de Agnesi, es llamativo: cambiar el término constante de $-1$ a $+1$ convierte esta curva rota en una única campana suave definida en toda la recta real.

Dominio y rango

Intervalo de $x$	Signo de $x^2 - 1$	Valores que toma
$\|x\| > 1$	positivo	$y > 0$
$\|x\| < 1$	negativo	$y \leq -1$

El dominio es todo número real salvo $x = \pm 1$ . Ningún valor de $-1 < y \leq 0$ se alcanza jamás.

Simetría

Como $f(-x) = f(x)$ , la función es par y la gráfica es simétrica respecto del eje $y$ .

Monotonía y extremos

La derivada es $f'(x) = -\dfrac{2x}{(x^2-1)^2}$ . El denominador es positivo en todo el dominio, así que el signo lo da únicamente $-2x$ : la función crece para $x < 0$ y decrece para $x > 0$ , lo que produce un máximo local de $-1$ en el origen.

Ese punto es la cima de la rama central, pero no es el máximo de toda la gráfica, ya que las ramas exteriores crecen sin límite. Es una imagen clara del hecho de que un máximo local no tiene por qué ser absoluto.

Asíntotas

Aproximación	Comportamiento
$x \to 1^{+}$	$y \to +\infty$
$x \to 1^{-}$	$y \to -\infty$
$x \to \pm\infty$	$y \to 0$

Las ramas se separan por encima y por debajo de la asíntota $x = 1$ , y lo mismo ocurre a ambos lados de $x = -1$ .

Concavidad

La segunda derivada es $f''(x) = \dfrac{6x^2 + 2}{(x^2-1)^3}$ . El numerador es siempre positivo, así que el signo coincide con el de $x^2 - 1$ . Las dos ramas exteriores son cóncavas hacia arriba y la rama central es cóncava hacia abajo. El signo cambia en $x = \pm 1$ , pero esos puntos quedan fuera del dominio, así que no hay puntos de inflexión.

Fracciones parciales

\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)

Vista como diferencia de dos recíprocas², queda claro que cerca de $x = 1$ y cerca de $x = -1$ solo se dispara un término cada vez. Al integrar se obtiene lo siguiente.

\int \frac{dx}{x^2-1} = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C

Eso vale $-\operatorname{artanh} x$ para $|x| < 1$ y $-\operatorname{arcoth} x$ para $|x| > 1$ .

Aplicaciones

En la oscilación forzada sin amortiguamiento, la amplitud es proporcional a $\dfrac{1}{\omega_0^2 - \omega^2}$ . A medida que la frecuencia de excitación se acerca a la frecuencia propia, la amplitud crece sin límite, y esa resonancia es exactamente la asíntota vertical de esta función.

Asymptote, Wikipedia
Partial fraction decomposition, Wikipedia

La función racional y=1x2−1y = \dfrac{1}{x^2-1}y=x2−11​