Gráfica de la función raíz cuarta $y = \sqrt[4]{x}$

$y = \sqrt[4]{x}$ es el número no negativo cuya cuarta potencia es $x$; también se escribe $x^{1/4}$¹. Puede verse como tomar dos veces la raíz cuadrada: $\sqrt[4]{x} = \sqrt{\sqrt{x}}$.

Dominio y rango

• El dominio es $x \geq 0$
• El rango es $y \geq 0$
• La función crece de forma monótona
• La curva es cóncava hacia abajo

Como $4$ es par, los números negativos no tienen raíz cuarta real. A entradas mayores corresponden salidas mayores, aunque la subida se hace cada vez más suave.

Monotonía y el origen

La derivada $y' = \dfrac{1}{4}x^{-3/4}$ tiende a $+\infty$ cuando $x \to 0^{+}$, así que la tangente en el origen es vertical y la curva se inclina enseguida hacia la derecha. La segunda derivada es negativa, de modo que la gráfica es cóncava hacia abajo en todo su recorrido.

Que sea cóncava significa aquí que cada nuevo aumento de la entrada compra cada vez menos: subir $x$ de $16$ a $81$ eleva $y$ solamente de $2$ a $3$.

Puntos destacados

Cada vez que $x$ se multiplica por $16$, $y$ se duplica.

Comparación con la raíz cuadrada

Cuanto menor es el exponente $\dfrac{1}{n}$, más brusca es la subida cerca del origen y más plana queda la curva a lo lejos.

Función inversa

Es la inversa de $y = x^4$ restringida a $x \geq 0$, el reflejo de esa curva respecto de la recta $y = x$, y un miembro de la familia $x^{1/n}$.

Aplicaciones

• La ley de Stefan-Boltzmann hace que la temperatura sea proporcional a la raíz cuarta de la energía radiada²
• La transformación de raíz cuarta, usada en estadística para estabilizar la dispersión de una distribución

1. Nth root, Wikipedia
2. Stefan-Boltzmann law, Wikipedia